Символ Похгаммера

Определение:

В математике убывающим факториалом (англ. falling factorial) (иногда называется нисходящим факториалом, постепенно убывающим факториалом или нижним факториалом) обозначают: $(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)$

Определение:

Растущий факториал (англ. rising factorial) (иногда называется функцией Похгаммера, многочленом Похгаммера, восходящим факториалом, постепенно растущим произведением или верхним факториалом) определяется следующей формулой: $x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k).$

Грахам, Кнут и Паташник предложили произносить эти записи как "$x$ растущий к $m$" и "$x$ убывающий к $m$" соответственно.

При $n=0$ значение принимается равным $1$ (пустое произведение).

В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Сам Лео Август Похгаммер для себя использовал $(x)^n$ в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента $\tbinom xn$.

Когда $x$ неотрицательное целое число, $(x)_n$ равняется числу инъективных отображений из множества с $n$ элементами во множество из $x$ элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения $_x P_n$ и $P(x,n)$. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где $x$ — переменная, то есть $(x)_n$ есть ни что иное как многочлен степени $n$ от $x$.

Другие формы записи убывающего факториала: $P(x,n)$, $^x P_n$, ,$P_{x,n}$ или $_x P_n$.

Другое обозначение растущего факториала $x^{(n)}$ реже встречается, чем $(x)^+_n$. Обозначение $(x)^+_n$ используется для растущего факториала, запись $(x)^-_n$ обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.

Примеры

График растущего факториала для $n$ от $0$ до $4$

Несколько первых растущих факториалов:

$x^{(0)}=x^{\overline0}=1$

$x^{(1)}=x^{\overline1}=x$

$x^{(2)}=x^{\overline2}=x(x+1)=x^2+x$

$x^{(3)}=x^{\overline3}=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x$

$x^{(4)}=x^{\overline4}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x$

Несколько первых убывающих факториалов:

$(x)_{0}=x^{\underline0}=1$

$(x)_{1}=x^{\underline1}=x$

$(x)_{2}=x^{\underline2}=x(x-1)=x^2-x$

$(x)_{3}=x^{\underline3}=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x$

$(x)_{4}=x^{\underline4}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x$

Коэффициенты в выражениях являются числами Стирлинга первого рода.

Свойства

Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, $x$ может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.

Связывающие коэффициенты

Так как убывающие факториалы — базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:

$(x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.$

Определение:

Коэффициенты $(x)_{m+n-k}$ называются связывающими коэффициентами (англ. connection coefficients). Связывающие коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию как число способов объединить $k$ элементов из множеств размера $m$ и $n$.

Биномиальный коэффициент

Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:

$\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.$

Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для убывающих и растущих факториалов.

Связь убывающего и растущего факториалов

Растущий факториал может быть выражен как убывающий факториал, начинающийся с другого конца,

$x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,$

или как убывающий с противоположным аргументом,

$x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .$

Отношение двух символов Похгаммера определяется как:

$\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x-i)_{n-i},\ n \geqslant i.$

Кроме того, мы можем развернуть экспоненты и убывающие факториалы как:

$x^{\underline{m+n}} = x^{\underline{m}} (x-m)^{\underline{n}}$

$(x)_{m+n} = (x)_m (x+m)_n$

$(x)_{-n} = \frac{1}{(x-n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}}$

$x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}$

Числа Стирлинга второго рода

Убывающий и растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи чисел Стирлинга второго рода:

$x^n = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}}$

$= \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k.$

Числа Лаха

Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом числами Лаха:

Утверждение:

$x^{(n)} = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k$

$\triangleright$

Подставим целое $m$ из отрезка $[0;n]$, тогда получим (будем считать, что $(-1)!$ равно бесконечности): $\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!}=\sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{n!}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!}$ Поделим обе части на $n!$, а из правой части уберём слагаемые, равные нулю, — получим: $\binom{n+m-1}{n}=\sum_{k=1}^{min(m,k)} \binom{n-1}{n-k}\times\binom{m}{k}$ Это тождество очевидно из комбинаторики, так как обе части равны числу способов выбрать из $n+m-1$ элементов, разделённых на два множества по $n-1$ и $m$ элементов, $n$ элементов. С одной стороны нельзя не признать, что это левая часть тождества по определению сочетания. С другой стороны нельзя не согласиться, что это правая часть тождества, в котором $k$ означает количество элементов, берущихся из множества размера $m$. Многочлены, стоящие в левой и правой частях тождества, оказались равны в $n+1$ точке и при этом имеют степень не больше $n$, то есть они формально совпадают, что и требовалось доказать.

$\triangleleft$

Гамма функция

Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения $n$, но с использованием Гамма функции при условии, что $x$ и $x+n$ вещественные числа, но не отрицательные целые.

Утверждение:

$x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$

$\triangleright$

$\Gamma(x) = x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}$ — по определению. Значит, $\Gamma(x+n) = (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x+n\}$ $=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x\}$ $\Gamma(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x-1\}$ $=(x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x\}$ Объединив эти два факта, получим, что: $\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x\}}{(x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x\}}$ $=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots(x)=x^{(n)}$, что и требовалось доказать.

$\triangleleft$

то же самое и про убывающий факториал:

Утверждение:

$(x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}$

$\triangleright$

$\Gamma(x) = x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}$ — по определению. Значит, $\Gamma(x+1) = x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}$ $\Gamma(x-n+1) = (x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x-n+1\}$ $=(x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x\}$ Объединив эти два факта, получим, что: $\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}}{(x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x\}}$ $=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=(x)_n$, что и требовалось доказать.

$\triangleleft$

Дифференциал

Если $D$ означает производную по $x$, то

$D^n(x^a) = (a)_n\,\, x^{a-n}.$

Теорема об умножении

По теореме об умножении получаем следующие выражения для растущего факториала:

$(x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod\limits_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N}$

$(ax+b)_n = x^n \prod\limits_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+}$

$(2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n.$

Обобщения

Обобщенный символ Похгаммера называется обобщённый символ Похгаммера, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует q-аналог — q-Похгаммер символ.

Обобщение убывающего факториала, в которой функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются как:

$[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),$

где $-h$ декремент и $k$ число факторов. Соответствующее обобщения растущего факториала:

$[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).$

Эта запись объединяет растущий и убывающий факториалы, которые $[x^{k/1}]$ и $[x^{k/-1}]$ соответственно.

Для арифметической функции $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$ и параметров $x, t$ определен обобщенное факториальное произведение вида:

$(x)_{n,f,t} = \prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)$

См.также

• Гамма функция
• Числа Стирлинга первого рода
• Числа Стирлинга второго рода
• Инъективное отображение
• Обобщённый символ Похгаммера
• q-Похгаммер символ
• Числа Лаха
• Теорема об умножении
• q-аналог

Источники информации

• Pochhammer Symbol
• Wikipedia — Falling and rising factorials
• Pochhammer Symbol at MATLAB
• Rising Factorial
• Several identities involving the falling and rising factorials and the Cauchy, Lah, and Stirling numbers