40
правок
Изменения
Нет описания правки
==Основная идея==
[[Файл:Tree_1.png|right|250px|thumb|Пример описанного дерева с демонстрацией определения ключа <tex>X</tex>]]
Напомним, '''[[Декартово дерево]]''' {{---}} это структура данных, объединяющая в себе бинарное дерево поиска и бинарную кучу. Для решения задачи, поставленной в предыдущей главе, попробуем слегка модифицировать эту структуру. Если конкретнее, то оставим в нем только один ключ - ключ <tex>Y</tex>. Вместо второго ключа будем использовать следующую величину: '''количество элементов в нашей структуре, находящихся левее нашего элемента'''. Если проще, то будем считать ключом порядковый номер нашего элемента в дереве, уменьшенный на единицу.
Заметим, что при этом сохранится структура [[Дерево_поиска,_наивная_реализация|двоичного дерева поиска]] по этому ключу(т.е. наше модифицированное декартово дерево так и останется декартовым деревом). Однако, с этим подходом появляется проблема: наши операции добавления и удаления элемента могут поменять нумерацию, и при наивной реализации на изменение всех ключей потребуется <tex>O(n)</tex> времени, где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов в дереве.
Как же нам быть? Основная идея заключается в том, что такой ключ <tex>X</tex> сам по себе нигде не хранится. Вместо него будем хранить вспомогательную величину: '''количество вершин в поддереве нашей вершины'''(включая и саму нашу вершину). Обратим внимание, что все операции с обычным декартовым деревом делались сверху. Также заметим, что если по пути до некой вершины просуммируем все такие величины в левых поддеревьях, в которые мы не пошли, увеличенные на единицу, то придя в саму вершинуи добавив к этой величине количество элементов в её левом поддереве, мы получим как раз ее ключ <tex>X</tex>.
