Динамическое программирование

<wikitex>

Процесс разработки алгоритмов динамического программирования

В процессе составления алгоритма задачи с динамическим программированием, требуется следовать последовательности из четырёх шагов:

1. Описать структуру оптимального решения
2. Рекурсивно определить значение оптимального решения
3. Вычислить значение оптимального решения с помощью метода восходящего анализа
4. Составление оптимального решения на основе полученной информации

Оптимальная подструктура

Производственная задача по определению оптимального способа сборки

Задачи, решаемые динамическим программированием, можно определить как поиск в заданном ориентированном ациклическом графе кратчайшего пути от одной вершины к другой.

Задача по нахождению кратчайшего пути между некоторыми вершинами графа (например, $S$_$i,j$) содержит в себе оптимальное решение подзадач (кратчайший путь до $S$_$1,j-1$ или $S$_$2,j-2$). Это свойство называется оптимальной подструктурой. Наличие у задачи этого свойства определяет её решаемость динамическим программированием.

Оптимальность для подзадач

Важнейшее свойство задач, которое позволяет решать их с помощью динамического программирования, это оптимальность для подзадач. В зависимости от формулировки задачи, будь то динамическое программирование на отрезке, на префиксе, на дереве, термин оптимальности для подзадач может быть различным, но, в целом, формулируется так:

Определение:

«Если есть оптимальное решение для некоторой подзадачи, которая возникает в процессе решения задачи, то именно его нужно использовать для решения задачи в целом»

Принцип оптимальности для динамического программирования на префиксе

Рассмотрим принцип оптимальности для динамического программирования на префиксе.

Задан граф. Требуется дойти от $S$ до $T$. Префикс оптимального пути $S \rightsquigarrow U$ является оптимальным путём $S \rightsquigarrow U$. Есть какой-то префикс, оптимальный путь проходит через $U$. Рассмотрим префикс $\Delta U$ (т.е. путь $S \rightsquigarrow U$), пусть он неоптимальный. Это значит, что есть более оптимальный путь. Тогда заменим этот префикс на более оптимальный путь до $U$, а путь $U \rightsquigarrow T$ добавим в конец. Получится более оптимальный путь $S \rightsquigarrow T$. Принцип оптимальности для подзадач выполняется. </wikitex>

Ссылки

• Лекция 10.11.2011
• Жадный алгоритм
• Т. Кормен. «Алгоритмы. Построение и анализ» (2^оеиздание, Глава 15)
• T. H. Cormen. «Introduction to Algorithms» (3^rdedidion, Chapter 15)