Контактная схема

Для математического описания электротехнических устройств, состоящих из контактов и промежуточных реле, функционирующих в дискретные моменты времени применяются контактные схемы. С помощью контактных схем можно представить любую булеву функцию.

Определение:

Контактная схема (англ. contact circuit) представляет собой ориентированный ациклический граф, на каждом ребре которого написана переменная или ее отрицание.

Определение:

Контакт (англ. contact) — ребро схемы, помеченное символом переменной или ее отрицанием. Каждому ребру в схеме сопоставляется какая то переменная (не обязательно каждой переменной сопоставляется ребро)

Принцип работы

Определение:

Замкнутый контакт (англ. closed contact) — контакт схемы, над которым написана [math]0[/math] или значение переменной равно [math]0[/math].

Определение:

Разомкнутый контакт (англ. open contact) — контакт схемы, над которым написана [math]1[/math] или значение переменной равно [math]1[/math].

Пусть [math]u[/math] и [math]v[/math] — два полюса контактной схемы (из вершины [math]u[/math] ребра только выходят, в вершину [math]v[/math] ребра только входят), определяющую функцию [math]g(x_1, x_2 \dots, x_n)[/math]. Тогда [math]g(x_1, x_2 \dots, x_n)[/math] принимает значение [math]1[/math] при таком наборе значений переменных, если можно добраться из [math]u[/math] в [math]v[/math] только по разомкнутым контактам.

Построение контактных схем

Представление одного из базисов в контактных схемах

Любую булеву функцию можно представить в виде контактной схемы. Для этого необходимо привести её к ДНФ или КНФ, а затем построить, используя комбинации трех логических элементов:

Конъюнкция

Дизъюнкция

Отрицание

Построение контактных схем

Пусть задана произвольная булева функция. Требуется построить для нее контактную схему, которая ее реализует. В качестве примера рассмотрим функцию, представленную в ДНФ: [math]f=(\neg x \land y \land \neg z) \lor (x \land \neg y \land \neg z) \lor (x \land y \land z)[/math]. Каждой скобке ДНФ соответствует цепочка из последовательных соединенных контактов, определяемых переменными содержащимися в скобке. При этом, вся схема состоит из параллельных соединений указанных цепочек. Для приведенного примера соответствует схема приведена ниже.

Примеры построения некоторых функций

исключающее "или"		медиана
[math]x \oplus y = (\neg x \land y) \lor (x \land \neg y)[/math]		[math] \langle x,y,z \rangle = (x \land y) \lor (x \land z) \lor (y \land z)[/math]

Задача о минимизации контактной схемы

Определение:

Две контактные схемы называются эквивалентными (англ. equivalent contact circuits), если они реализуют одну и ту же булеву функцию.

Определение:

Сложностью контактной схемы (англ. the complexity of the contact circuit) называется число ее контактов.

Определение:

Минимальная контактная схема (англ. minimal contact circuit) — схема, имеющая наименьшую сложность среди эквивалентных ей схем.

Определение:

Дерево конъюнктов для [math]n[/math] переменных — двоичное ориентированное дерево глубиной [math]n[/math], такое что: поддеревья на одном и том же уровне одинаковы; и левое ребро любого узла помечено символом переменной [math]x_k (k\lt =n)[/math], а правое помечено символом отрицания переменной [math]x_k[/math].

Задача минимизации контактных схем состоит в том, чтобы по данной схеме [math]S[/math] найти схему [math]T[/math] , эквивалентную [math]S[/math] и имеющую наименьшую сложность. Один из путей решения этой задачи состоит в следующем:

• Осуществляем переход от контактной схемы [math]S[/math] к её булевой функции [math]F(S)[/math].
• Упрощаем [math]F(S)[/math], то есть отыскиваем функцию [math]G[/math] (на том же базисе, что и [math]F(S)[/math], равносильную [math]F(S)[/math] и содержащую меньше вхождений операций дизъюнкции и конъюнкции. Для этой операции удобно использовать карты Карно.
• Строим схему [math]T[/math], реализующую функцию [math]G[/math].

Теорема:

Любой булеву функцию можно представить контактной схемой, сложностью [math]O(2^n)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть дана функция [math]f(x_1,x_2 \dots, x_n)[/math] и она представлена в ДНФ Дерево конъюнктов для 2-х переменных Возьму дерево конъюнктов для [math]n[/math] переменных (см. картинку). Очевидно, что от вершины [math]u[/math] до "нижних" вершин дерево можно добраться за [math]O(n)[/math], а ребер у такого дерева [math]O(2^n)[/math] Соединим нижние вершины, которые соответствуют конъюнктам функции, с вершиной [math]v[/math] контактами, над которыми написана [math]1[/math]. От этого в схему добавится не более, чем [math]2^n[/math] ребер и тогда сложность останется [math]O(2^n)[/math]. В результате можно построить контактную схему для любой функции со сложностью [math]O(2^n)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

См также

• Построение функциональной схемы

Источники информации

• Контактные схемы
• Encyclopedia of Math — Contact sheme
• Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике
• М. А. Айзерман, Л. А. Гусев, Л. И. Розоноэр И. М. Смирнова, А. А. Таль. Логика, автоматы, алгоритмы.