Динамика по поддеревьям
Главной особенностью динамического программирования по поддеревьям является необходимость учитывать ответы в поддеревьях, так как они могут влиять на ответы в других поддеревьях. Рассмотрим для лучшего понимания динамики по поддеревьям задачу о максимальном взвешенном паросочетании в дереве.
Задача о паросочетании максимального веса в дереве
Пусть задано взвешенное дерево, с весами, обозначенными как , где и — вершины дерева, соединённые ребром. Задача: составить такое паросочетание, чтобы суммарный вес всех рёбер, входящих в него, был максимальным.
Для решения данной задачи существует несколько алгоритмов. Например, алгоритм Куна, который имеет верхнюю оценку порядка . Но так как нам дано дерево, то можно использовать динамическое программирование, время работы алгоритма с которым улучшается до .
Обозначим как паросочетание максимального веса в поддереве с корнем в -той вершине, при этом -тая вершина соединена ребром, входящим в паросочетание, с вершиной, входящей в поддерево -ой вершины; аналогично — как паросочетание максимального веса в поддерева с корнем в -той вершине, но только при этом -тая вершина соединена ребром, входящим в паросочетание, с вершиной, не входящей в поддерево -ой вершины; а , таким образом, ответ на задачу будет находиться в , где — корень дерева. Идея динамического программирования здесь состоит в том, что для того, чтобы найти паросочетание максимального веса с корнем в вершине , нам необходимо найти максимальное паросочетание для всех поддеревьев -ой вершины.
Обозначим — как множество сыновей вершины и будем находить значения и следующим образом:
Если вершина — лист, то ,
в противном же случае
- ,
С учётом того, что , эти формулы можно переписать как
- .
Теперь оценим количество операций, необходимых нам для нахождения . Так как , то для вычисления необходимо вычислить , . Для вычисления и того, и другого необходимо время порядка , где n — количество вершин в дереве.
Псевдокод
int dfs(int x):
for (child : Ch[x])
dfs(child)
a[x] = max(a[x], b[child] + w[x][child] - с[child]) //по формуле выше, но без b[x](прибавим его один раз в конце)
b[x] += с[child]
a[x] += b[x] // так как в a[x] пока что хранится только на сколько мы можем увеличить ответ если будем использовать вершину x
c[x] = max(a[x], b[x])
//в основной процедуре вызываем dfs от корня(root), после этого ответ будет хранится в c[root]
Амортизированные оценки для ДП на дереве
| Теорема: |
Пусть какой-либо алгоритм на дереве работает за время для вершины x, тогда время обработки им всего дерева не превышает : |
| Доказательство: |
| , поэтому . |
