| Определение: |
В математике убывающим факториалом (англ. falling factorial) (иногда называется нисходящим факториалом, постепенно убывающим факториалом или нижним факториалом) обозначают:
- [math](x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)[/math]
|
| Определение: |
Растущий факториал (англ. rising factorial) (иногда называется функцией Похгаммера, многочленом Похгаммера, восходящим факториалом, постепенно растущим произведением или верхним факториалом) определяется следующей формулой:
- [math]x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k). [/math]
|
При [math]n=0[/math] значение принимается равным [math]1[/math] (пустое произведение).
В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Сам Лео Август Похгаммер для себя использовал [math](x)^n[/math] в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента [math]\tbinom xn[/math].
Когда [math]x[/math] неотрицательное целое число, [math](x)_n[/math] равняется числу инъективных отображений из множества с [math]n[/math] элементами во множество из [math]x[/math] элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения [math]_x P_n[/math] и [math]P(x,n)[/math]. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где [math]x[/math] — переменная, то есть [math](x)_n[/math] есть ни что иное как многочлен степени [math]n[/math] от [math]x[/math].
Примеры
График растущего факториала для
[math]n[/math] от
[math]0[/math] до
[math]4[/math]Несколько первых растущих факториалов:
- [math]x^{(0)}=x^{\overline0}=1 [/math]
- [math]x^{(1)}=x^{\overline1}=x [/math]
- [math]x^{(2)}=x^{\overline2}=x(x+1)=x^2+x [/math]
- [math]x^{(3)}=x^{\overline3}=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x [/math]
- [math]x^{(4)}=x^{\overline4}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x [/math]
Несколько первых убывающих факториалов:
- [math](x)_{0}=x^{\underline0}=1 [/math]
- [math](x)_{1}=x^{\underline1}=x [/math]
- [math](x)_{2}=x^{\underline2}=x(x-1)=x^2-x [/math]
- [math](x)_{3}=x^{\underline3}=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x [/math]
- [math](x)_{4}=x^{\underline4}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x [/math]
Коэффициенты в выражениях являются числами Стирлинга первого рода.
Свойства
Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:
- [math]\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n} \quad\mbox{and}\quad \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.[/math]
Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для убывающих и растущих факториалов.
Растущий факториал может быть выражен как убывающий факториал, начинающийся с другого конца,
- [math]x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n ,[/math]
или как убывающий с противоположным аргументом,
- [math]x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} .[/math]
Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, [math]x[/math] может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.
Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения [math]n[/math], но с использованием Гамма функции при условии, что [math]x[/math] и [math]x+n[/math] вещественные числа, но не отрицательные целые:
| Утверждение: |
[math]x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}[/math] |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]\Gamma(x) = x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}[/math] — по определению. Значит,
[math]\Gamma(x+n) = (x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x+n\}[/math]
- [math]=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x\}[/math]
[math]\Gamma(x) = (x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x-1\}[/math]
- [math]=(x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x\}[/math]
Объединив эти два факта, получим, что:
[math]\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots\{x\}}{(x-1)(x-2)(x-3)\cdots\{x\}}[/math]
- [math]=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots(x)=(x)^{(n)}[/math], что и требовалось доказать.
|
| [math]\triangleleft[/math] |
то же самое и про убывающий факториал:
| Утверждение: |
[math](x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}[/math] |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]\Gamma(x) = x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}[/math] — по определению. Значит,
[math]\Gamma(x+1) = x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}[/math]
[math]\Gamma(x-n+1) = (x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x-n+1\}[/math]
- [math]=(x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x\}[/math]
Объединив эти два факта, получим, что:
[math]\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}=\frac{x(x-1)(x-2)\cdots\{x\}}{(x-n+1)(x-n-2)(x-n-3)\cdots\{x\}}[/math]
- [math]=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=(x)_n[/math], что и требовалось доказать.
|
| [math]\triangleleft[/math] |
Если [math]D[/math] означает производную по [math]x[/math], то
- [math]D^n(x^a) = (a)_n\,\, x^{a-n}.[/math]
Связывающие коэффициенты и тождества
Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом числами Лаха и суммами для интегральных степеней переменной [math]x[/math] с привлечением чисел Стирлинга второго рода в следующих формах, в которых [math]\binom{r}{k} = \frac{r^{\underline{k}}}{k!}[/math]:
[1]
[math] x^{\underline{n}} = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k [/math]
[math] x^{\underline{n}} = (-1)^n (-x)^n = (x-n+1)_n [/math]
[math] (x)_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (n-1)^{\underline{n-k}} \times x^{\underline{k}} [/math]
- [math] = (-1)^n (-x)^n = (x+n-1)^{\underline{n}} [/math]
- [math] = \binom{-x}{n} (-1)^n n! [/math]
- [math] = \binom{x+n-1}{n} n! [/math]
[math] x^n = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} x^{\underline{n-k}} [/math]
- [math] = \sum_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k. [/math]
Так как убывающие факториалы — базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:
- [math](x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.[/math]
| Определение: |
| Коэффициенты [math](x)_{m+n-k}[/math] называются связывающими коэффициентами (англ. connection coefficients). |
Связывающие коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию как число способов объединить [math]k[/math] элементов из множеств размера [math]m[/math] и [math]n[/math].
Отношение двух символов Похгаммера определяется как:
- [math]\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geqslant i. [/math]
Кроме того, мы можем развернуть экспоненты и убывающие факториалы как:
- [math]x^{\underline{m+n}} = x^{\underline{m}} (x-m)^{\underline{n}}[/math]
- [math](x)_{m+n} = (x)_m (x+m)_n[/math]
- [math](x)_{-n} = \frac{1}{(x-n)_n} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{n}}}[/math]
- [math]x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}[/math]
Наконец, по теореме об умножении получаем следующие выражения для растущего факториала:
- [math](x)_{k+mn} = (x)_k m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+j+k}{m}\right)_n,\ m \in \mathbb{N} [/math]
- [math](ax+b)_n = x^n \prod_{k=0}^{x-1} \left(a+\frac{b+k}{x}\right)_{n/x},\ x \in \mathbb{Z}^{+} [/math]
- [math](2x)_{2n} = 2^{2n} (x)_n \left(x+\frac{1}{2}\right)_n. [/math]
Альтернативные формы записи
Альтернативная форма записи растущего факториала:
- [math]x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\geqslant0,[/math]
а убывающего факториала:
- [math]x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\geqslant0;[/math]
использовались А. Капелли ([math]1893[/math]) и Л. Тоскано ([math]1939[/math]) соответственно.[2] Грахам, Кнут и Паташник[3] предложили произносить эти записи как "[math]x[/math] растущий к [math]m[/math]" и "[math]x[/math] убывающий к [math]m[/math]" соответственно.
Другие формы записи убывающего факториала: [math]P(x,n)[/math], [math]^x P_n[/math], ,[math]P_{x,n}[/math] или [math]_x P_n[/math].
Другое обозначение растущего факториала [math]x^{(n)}[/math] реже встречается, чем [math](x)^+_n[/math]. Обозначение [math](x)^+_n[/math] используется для растущего факториала, запись [math](x)^-_n[/math] обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.[2]
Обобщения
Обобщенный символ Похгаммера называется обобщённый символ Похгаммера, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует q-аналог — q-Похгаммер символ.
Обобщение убывающего факториала, в которой функция вычисляется по нисходящей арифметической последовательности целых чисел, а значения перемножаются как:
- [math][f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),[/math]
где [math]-h[/math] декремент и [math]k[/math] число факторов. Соответствующее обобщения растущего факториала:
- [math][f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).[/math]
Эта запись объединяет растущий и убывающий факториалы, которые [math][x^{k/1}][/math] и [math][x^{k/-1}][/math] соответственно.
Для арифметической функции [math]f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}[/math] и параметров [math]x, t[/math] определен обобщенное факториальное произведение вида:
- [math](x)_{n,f,t} = \prod_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)[/math]
См.также
Примeчания
- ↑ Wolfram Functions Site — Introduction to the factorials and binomials
- ↑ 2,0 2,1 According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. [math]1[/math], [math]3[/math]rd ed., p. [math]50[/math].
- ↑ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book Concrete Mathematics ([math]1988[/math]), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN [math]0-201-14236-8[/math], pp. [math]47[/math],[math]48[/math]
Источники информации
