Представление чисел с плавающей точкой

Эта статья находится в разработке!

Плавающая точка

Определение:

Плавающая точка (floating point) - метод представления действительных чисел, при котором число хранится в виде мантиссы и показателя степени.

Представление чисел с плавающей точкой рассмотрим на примере чисел двойной точности (double precision). Такие числа занимают в памяти два машинных слова (8 байт на 32-битных системах). Наиболее распространенное представление описано в стандарте IEEE 754.

Числа двойной точности

Число с плавающей точкой хранится в нормализованной форме и состоит из трех частей (в скобках указано количество бит, отводимых на каждую секцию в формате double):

1. знак (1)
2. экспонента (показатель степени) (11)
3. мантисса (52)

В качестве базы (основания степени) используется число 2.

Знак
	Порядок (11 бит)											Мантисса (52+1 бит)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1,	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	62				52								51																																																0

Определение:

Нормализованной называется форма представления числа, при которой мантисса двоичного числа [math] mant [/math] лежит в диапазоне [math] [1, 2) [/math].

Утверждение:

Итоговое значение числа вычисляется по формуле: [math] x = (-1)^{sign} \times (1.mant) \times 2^{exp} [/math]

Свойства чисел с плавающей точкой

1. В нормализованном виде любое отличное от нуля число представимо в единственном виде. Недостатком такой записи является тот факт, что невозможно представить число 0.
2. Так как старший бит двоичного числа, записанного в нормализованной форме, всегда равен 1, его можно опустить. Это используется в стандарте IEEE 754.
3. В отличие от целочисленных стандартов (например, integer), имеющих равномерное распределение на всем множестве значений, числа с плавающей точкой (double, например) имеют квазиравномерное распределение.

TODO: Вставить картинки, когда можно будет загрузить файл

1. В следствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).
2. Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой.
3. Точно в таком формате представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53). Остальные числа попадают в некоторый диапазон и округляются до ближайшей его границы. Таким образом, абсолютная погрешность составляет половину величины младшего бита.

Машинная эпсилон

Определение:

Машинная эпсилон - наименьшее положительное число [math] \varepsilon_m [/math], такое что, [math] 1 \oplus \varepsilon_m = 1 [/math], где [math] \oplus [/math] - машинное сложение.

Утверждение:

Таким образом, компьютер не различает числа [math] x [/math] и [math] y [/math], если [math] 1 \lt \frac{x}{y} \lt 1 + \varepsilon_m [/math].

Утверждение:

Из свойств чисел двойной точности следует, что для них [math] \varepsilon_m = 2^{-54}[/math].

Погрешность предиката "левый поворот"

TODO: Вывести

Ссылки

en.wikipedia.org Floating point
en.wikipedia.org Double precision floating point format
Goldberg, D. 1991 What every computer scientist should know about floating-point arithmetic
ieee.org IEEE 754
neerc.ifmo.ru/mediawiki Предикат "левый поворот"