Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события [math] A [/math] через вероятности событию [math] A [/math] произойти при выполнении гипотез и вероятность этих гипотез.
Теорема
| Определение: |
Не более чем счётное множество событий [math] B_1, B_2, ..., B_n [/math], таких что:
- все события попарно несовместны: [math] \forall i,~j = 1, 2, ..., n~B_i \cap B_j = \varnothing [/math]
- их объединение образует пространство элементарных исходов: [math]P(B_i)~\gt ~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup ...~\cup ~B_n = \Omega [/math]
|
В этом случае события [math]B_i[/math] ещё называются гипотезами.
| Теорема (формула полной вероятности): |
Вероятность события [math] A~\subset ~\Omega [/math], которое может произойти только вместе с одним из событий [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math], образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез.
[math] \\ [/math]
[math] p(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} p( A \mid B_i) p(B_i) [/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] образуют полную группу событий, значит событие [math] A [/math] можно представить в виде следующей суммы:
[math] A = A\cap B_{1} + A\cap B_{2} + ... + A\cap B_{n} = \sum\limits_{i=1}^{n} A\cap B_{i} [/math] (Для удобства чтения формулы обозначим операцию объединения [math] \cup [/math] за [math] + [/math])
События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] несовместны, значит и события [math] A\cap B_{i} [/math] тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:
[math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A\cap B_i)[/math]
При этом
[math] {p}( A\cap B_i) = {p} (B_i) {p} (A \mid B_i) [/math]
Окончательно получаем:
[math]{p}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {p}( A \mid B_i) {p}(B_i)[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Замечание
Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть [math]N[/math] — случайная величина, имеющая распределение
- [math]{p}(N=n) = {p}(B_n)[/math].
Тогда
- [math]{p}(A) = {E}\left[{p}(A\mid N)\right][/math],
т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.
См. также
Источники
