Сокращённая и минимальная ДНФ
Содержание
Сокращенная ДНФ
Запишем известную функцию (медиана) в СДНФ:
.
Известно, что это выражение равносильно следующему:
.
Вынесем в каждой скобке общий конъюнкт (например, в первой .
Так как , то такой конъюнкт не влияет на значение выражения, и его можно опустить.
Получим в итоге формулу .
| Определение: |
Сокращенная ДНФ: форма записи функции, обладающая следующими свойствами:
|
Минимальная ДНФ
| Определение: |
| Минимальная ДНФ — та сокращенная ДНФ, в которой содержится минимальное количество вхождений переменных. |
Каждая минимальная ДНФ является сокращенной, но не каждая сокращенная — минимальна.
Например, запись является минимальной ДНФ для медианы (она же сокращенная, как видно в примере выше); а запись - не минимальная, но сокращенная ДНФ.
Минимальная ДНФ представляет функцию в наиболее удобном для работы с ней виде.
Минимизация ДНФ
Рассмотрим несколько способов минимизации дизъюнктивных нормальных форм:
Визуализация гиперкубами
Этот способ работает при количестве переменных не больше трёх (в противном необходимо вводить четвёртое или следующие за ним измерения для представления фигур). Сначала мы рисуем куб в системе отсчёта Oxyz (названия координатных осей должны соответствовать названиям переменных). Затем каждую вершину обрабатываем следующим образом:
- Если у нас конъюнкт, переменные в котором равны соответствующим координатам вершины (пример: вершине с координатами (0,1,1) соответствует конъюнкт , он равен единице при X=0, Y=1 и Z=1), то в эту вершину мы помещаем закрашенный чёрным кружок.
- В противном случае мы помещаем в вершину закрашенный белый кружок.
Например, для такой ДНФ: мы получим такой гиперкуб:
Далее обработка гиперкуба идёт следующим образом:
Пока у нас есть незакрашенные вершины, мы выбираем грань, либо вершину, либо ребро, на которых больше всего закрашенных чёрным вершин и ещё не обработанных вершин.
- Если в данном гиперкубе есть грань, все вершины на которой закрашены чёрным, то мы можем записать её в качестве конъюнкта, где будет только переменная с неизменяющейся соответствующей ей координатой, например, грань, на которой лежат закрашенные вершины (0,1,1), (0,1,0), (1,1,0) и (1,1,1) мы можем записать как конъюнкт .
- Теперь мы смотрим, остались ли на рёбрах куба закрашенные и не отмеченные нами в ДНФ вершины. Если — да, то рёбра с такими вершинами мы можем записать в качестве конъюнкта, где будут только переменные с неизменяющимися соответствующим им координатами, например, ребро, соединяющее закрашенные вершины (0,1,1) и (1,1,1) мы можем записать как конъюнкт .
- И если после такой обработки у нас остались свободные вершины, мы просто переписываем координаты каждой такой вершины в отдельный конъюнкт, равный 1. Например, вершину (1,0,1) мы бы переписали как конъюнкт .
В итоге нашу изначальную ДНФ можно записать как .
Карты Карно
Этот способ работает при количестве переменных не более 4.
Мы рисуем следующую таблицу n*n, где n — количество переменных:
Теперь для каждого конъюнкта мы помечаем соответствующую ему ячейку таблицы. Например, ДНФ
будет выглядеть на картах Карно так:
| 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 |
- Теперь мы покрываем прямоугольниками (длины сторон которых — степени двойки (1, 2, 4)) те ячейки карт Карно, которые содержат в себе единицу (на каждом ходу мы выбираем такой прямоугольник, чтобы он покрывал наибольшее количество ещё не покрытых клеток) до тех пор, пока не покроем все такие ячейки (для карт Карно на примере это выглядело бы так):
| 1 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 |
- После этого записываем каждый прямоугольник в виде конъюнкта, в котором будут указаны только те переменные, которые одинаковы для всех ячеек этого прямоугольника:
Метод Квайна
Этот метод основан на применении двух основных соотношений:
- Операция попарного неполного склеивания:
- (где A - любое элементарное произведение)
- Операция элементарного поглощения
Суть метода заключается в последовательном выполнении всех возможных склеиваний и затем всех поглощений частей СДНФ пока это может быть осуществимо.
Описание алгоритма
- Исходным является множество конституэнт единицы функции - импликанты нулевого ранга.
- Выполняются все возможные операции неполного попарного склеивания для элементарных конъюнкций длины n (где n-кол-во аргументов).
- Выполняются все возможные операции элементарного поглощения для элементарных конъюнкций длины n-1 (общая часть "p" имеет длину n-1)
- В результате получилось множество элементарных конъюнкций, разделяемых на два подмножества(по длине):
- подмножество элементарных конъюнкций длины n (оставшиеся)
- подмножество элементарных конъюнкций длины n-1
- Если множество элементарных конъюнкций длины n-1 не пусто, то выполняются шаги со второго для конъюнкций длины n-1 и т.д.
Алгоритм завершается, когда подмножество является пустым, либо нельзя выполнить ни одной операции неполного попарного склеивания. После выполнения алгоритма будет получена сокращенная минимальная форма
Переход от сокращённой формы к минимальной осуществляется с помощью импликантной матрицы. Члены СДНФ заданной функции вписываются в столбцы, а в строки — простые импликанты, то есть члены сокращённой формы. Отмечаются столбцы членов СДНФ, которые поглощаются отдельными простыми импликантами.
Импликанты, не подлежащие исключению, образуют ядро. Такие импликанты определяются по вышеуказанной матрице. Для каждой из них имеется хотя бы один столбец, перекрываемый только этой импликантой. Для получения минимальной формы достаточно выбрать из импликантов, не входящих в ядро, такое минимальное их число с минимальным количеством букв в каждом из этих импликант, которое обеспечит перекрытие всех столбцов, не перекрытых членами ядра.
