Visibility graph и motion planning

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Нахождение пути между точками с препятствиями

Путь с препятствиями через трапецоидную карту
Такой путь не самый короткий

Для начала рассмотрим движение материальной точки. Случай, когда размером и формой движимого объекта пренебречь нельзя, будет рассмотрен позднее.

Обычно эта задача решается с помощью трапецоидной карты. По ней строится граф, ребра которого соединяют центры трапедоидов, а также начальную и конечную вершины с серединами вертикальных сторон трапецоидов. В таком графе ищется путь между начальной и конечной вершинами.

Данный алгоритм работает за [math] O(n \log n) [/math] и за линейное количество памяти и идеально подходит для нахождения какого-нибудь пути между конечными вершинами. Но иногда нужно найти кратчайший путь, и этот алгоритм не подходит, хоть и дает хорошее приближение. Однако, решения нахождения кратчайшего пути в лучшем случае работают за [math] O(n^2) [/math] времени и памяти (здесь и далее [math] n [/math] — количество всех вершин).

Visibility graph

Рассмотрим точное решение нахождения кратчайшего пути на плоскости между двумя точками с полигональными препятствиями с помощью построения графа видимости. После его построения, как и в случае с трапецоидной картой, кратчайший путь ищется любым стандартным алгоритмом поиска (например, алгоритмом Дейкстры или A*).

Для простоты рассуждений начальную и конечную вершины будем считать вершинами полигонов.

Лемма (О кратчайшем пути):
Любой кратчайший путь между двумя вершинами с полигональными препятствиями представляет собой ломаную, вершины которой — вершины полигонов.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Short cut
Пусть кратчайший путь — не ломаная. В таком случае, на пути существует такая точка [math] p [/math], которая не принадлежит ни одному прямому отрезку. Это означает, что существует [math]\epsilon[/math]-окрестность точки [math] p [/math], в которую не попадает ни одно препятствие (случай, когда точка попала на ребро рассматривается аналогично). В таком случае, подпуть, который находится внутри [math]\epsilon[/math]-окрестности, по неравенству треугольника может быть сокращён по хорде, соединяющий точки пересечения границы [math]\epsilon[/math]-окрестности с путем. Раз часть пути может быть уменьшена, значит и весь путь может быть уменьшен, а значит исходное предположение некорректно.
[math]\triangleleft[/math]
Определение:
Говорят, что вершина [math] u [/math] видна (англ. mutually visible) из [math] v [/math], если отрезок [math] uv [/math] не пересекает ни одного препятствия.


Определение:
Граф видимости (англ. visibility graph) — граф, вершины которого — вершины полигонов. Между вершинами [math] u [/math] и [math] v [/math] существует ребро, если из [math] u [/math] видна [math] v [/math].


В худшем случае в таком графе может быть [math] O(n^2) [/math] ребер. Однако по некоторым ребрам кратчайший путь точно не пройдет, и такие ребра из графа можно удалить.

Лемма:
Удаляем [math] BD [/math]
Если существуют вершины [math] A, B, C [/math] одного препятствия и вершина [math] D [/math] такая, что поворот [math] DBA [/math] не совпадает с поворотом [math] DBC [/math], то ребро [math] DB [/math] не принадлежит кратчайшему пути и его можно удалить из графа. (См. поясняющую картинку справа)
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Не удаляем [math] BS [/math]
Путь проходящий через ребро [math] BD [/math] будет длиннее, чем через соседей точки [math] B [/math], так как по неравенству треугольника [math] AB + BD \lt AD [/math]
[math]\triangleleft[/math]

По доказанным леммам любое ребро кратчайшего пути содержится в графе. Таким образом, для нахождения кратчайшего пути осталось найти кратчайший путь в этом графе от начальной до конечной вершины.

Построение visibility графа

Наивный алгоритм. [math] O(n ^ 3) [/math]

Для каждой пары вершин проверяем, можно ли добавить ребро между ними, то есть нет ли пересечений с полигонами. [math] O(n^2) [/math] пар вершин и [math] O(n) [/math] ребер, то есть [math] O(n^3) [/math].

Lee’s Algorithm. [math] O(n ^ 2 \log n) [/math]

Заметание плоскости вращающимся лучом

Однако можно это сделать за [math] O(n ^ 2 \log n) [/math]. Идея алгоритма проста : для каждой вершины найдем видимые из нее вершины. Если научиться делать это за [math] O(n \log n) [/math], задача решена, так как всего точек [math] n [/math].

Для каждой вершины будем рассматривать только правую половину плоскости, так как ребра, которые должны идти в левую половину, будут исходить из вершин, для которых текущая вершина будет справа.

Переформулируем задачу. Дано : точка [math] v [/math] и множество отрезков — ребер препятствий. Найти : множество концов отрезков, видимых из [math] v [/math].

Для решения этой задачи будем использовать заметающий луч с началом в точке [math] v [/math]. Его статусом будут отрезки, которые его пересекают, упорядоченные по возрастанию расстояния от точки [math] v [/math] до точки пересечения. Точками событий будут концы отрезков.

Пустим луч из рассматриваемой вершины [math] v [/math] вертикально вверх и добавим в статус все отрезки, которые он пересекает, по увеличению расстояния до них. Теперь будем рассматривать точки [math] w \in V [/math] в порядке сортировки по углу между [math] v [/math] и вертикальной полуосью [math] l [/math]. При таком обходе проверка видимости вершины будет выполняться за [math] O(1) [/math], так как достаточно проверить пересечение с отрезком, первым в статусе. Действительно, если вершина не видна, то отрезок [math] vw [/math] пересекает несколько отрезков, лежащих перед [math] w [/math], а значит и ближайший, то есть первый в статусе. В противном случае все пересекаемые лучом отрезки лежат за вершиной [math] w [/math] и пересечения отрезка [math] uw [/math] с ближайшим отрезком в статусе не будет. Вне зависимости от видимости вершины, необходимо изменить статус заметающего луча. Для этого необходимо удалить из статуса все отрезки, которые заканчиваются вершине [math] w [/math] (лежат слева от прямой [math] vw [/math]) и добавить все отрезки, которые в ней начинаются (лежат справа от прямой [math] vw [/math]).

Псевдокод
graph buildVisibilityGraph(Set<Segment> segments)
   Set<Vertex> vertices = getVertices(segments)       //получаем все вершины препятствий
   graph visibilityGraph(vertices)                    //изначально в графе только вершины
   for Vertex v in vertices                           //для каждой вершины
      for Vertex w in getVisibleVertices(v, segments) //добавляем в граф все видимые из нее вершины
         visibilityGraph.addEdge(v, w)
   return visibilityGraph

Здесь функция getVisibleVertices([math] v [/math]) возвращет все видимые из [math] v [/math] вершины и выглядит так: 

vector<Vertex> getVisibleVertices(vertex v, set<segment> segments)
// Инициализируем статус
   for segment s in segments
      if intersection s and ray from v to up exists
         status.add(s)
// Инициализируем множество вершин, которые нужно рассматривать
   for point w in segments
      if w.x >= v.x
         currentVertices.add(w)
   sort(currentVertices) by angle
// Для каждой вершины проверяем, видима ли она и обновляем статус
   for w in currentVertices
      if intersection vw and status.first not exists
         answer.add(w)
      delete from status all edges ending in w
      add in status all edges beginning in w
   return answer

В качестве статуса нужно использовать структуру данных, позволяющую добавлять и удалять из нее отрезки за [math] O(\log n) [/math] и извлекать минимум за [math] O(1) [/math] или [math] O(\log n) [/math]. В этом случае достигается асимптотика [math] O(n^2 \log n) [/math], так как для каждой из [math] n [/math] точек выполняется сортировка([math] O(n \log n) [/math]), обновление статуса (суммарно [math] O(n \log n) [/math], так как каждый отрезок добавляется и удаляется из статуса только один раз) и запросы ближайшего отрезка ([math] O(\log n) [/math] или [math] O(1) [/math] на точку, то есть [math] O(n \log n) [/math] или [math] O(n) [/math]).

Обновление статуса заметающего луча
Обновление статуса заметающего луча
Обновление статуса заметающего луча

Overmars and Welzl’s Algorithm [math] O(n ^ 2) [/math]

visibility graph при помощи rotation tree

C помощью rotation tree можно достичь асимптотики [math] O(n^2) [/math].

Motion planning

Изменяем препятствия
Ищем путь для точки

Рассмотрим задачу нахождения кратчайшиго пути, когда движимый объект — это выпуклый полигон. Например, робот, которого надо доставить из начальной в конечную точку.

Если полигон вращать нельзя, задачу сводится к движению точки так : выбирается точка на полигоне, которая принимается за начало координат. В такой системе координат для каждого препятствия считается сумма Минковского с полигоном. Получаются бОльшие препятствия, но теперь достаточно двигать выбранную точку, что было описано выше.

Если полигон можно вращать, задача нахождения кратчайшего пути становится достаточно ресурсоёмка, поэтому обычно рассматривают задачу нахождения какого-нибудь пути между конечными точками.

Первый шаг решения этой задачи совпадает с предыдущим случаем : выберем точку и построим сумму Минковского препятствий с полигоном. Рассмотрим малый угол [math] \epsilon [/math]. Представим, что поворот полигона на этот угол — это движение вверх-вниз между слоями, на каждом из которых посчитана сумма Минковского с полигоном, повернутым на этот угол.

На каждом слое построим трапецоидную карту и граф, как описано в начале. Если пересечь соседние слои и добавить между их графами ребра, получится один большой граф, в котором ищется кратчайший путь.

При таком подходе может возникнуть ошибка при пересечении слоев : на каждом слое состояния будут допустимые, а осуществить поворот физически будет невозможно. Обычно, эту проблему решают двумя способами : измельчением угла поворота и изначальным сглаживанием углов полигона. Первый способ повышает не только точность решения, но и вычислительную сложность задачи. Второй подход практически исключает возможность нахождения пути, когда его нет, но повышает вероятность "ненахождения" пути, когда он есть.

Источники

  • Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars (2008), Computational Geometry: Algorithms and Applications (3rd edition), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77973-5 Chapter 15 page 324-331
  • статья про visibility graphs на academia.edu
  • Хабр

Ссылки

  • Моя реализация алгоритма за [math] O(n^2 \log n) [/math]. Далеко от идеального, но работает
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Visibility_graph_и_motion_planning&oldid=44816»