Сортировка кучей

Сортировка кучей, пирамидальная сортировка (англ. Heapsort) — алгоритм сортировки, использующий структуру данных двоичная куча. Это неустойчивый алгоритм сортировки с временем работы [math]O(n\log{n})[/math] , где [math]n[/math] — количество элементов для сортировки, и использующий [math]O(1)[/math] дополнительной памяти.

Алгоритм

Необходимо отсортировать массив [math]A[/math], размером [math]n[/math]. Построим на базе этого массива за [math]O(n)[/math] невозрастающую кучу. Так как по свойству кучи максимальный элемент находится в корне, то, поменявшись его местами с [math]A[n - 1][/math], он встанет на свое место. Далее вызовем процедуру [math] \mathrm{siftDown(0)} [/math], предварительно уменьшив [math] \mathrm{heapSize} [/math] на [math]1[/math]. Она за [math]O(\log{n})[/math] просеет [math]A[0][/math] на нужное место и сформирует новую кучу (так как мы уменьшили ее размер, то куча располагается с [math]A[0][/math] по [math]A[n - 2][/math], а элемент [math]A[n-1][/math] находится на своем месте). Повторим эту процедуру для новой кучи, только корень будет менять местами не с [math]A[n - 1][/math], а с [math]A[n-2][/math]. Делая аналогичные действия, пока [math] \mathrm{heapSize} [/math] не станет равен [math]1[/math], мы будем ставить наибольшее из оставшихся чисел в конец не отсортированной части. Очевидно, что таким образом, мы получим отсортированный массив.

Реализация

[math]A[/math] — массив, который необходимо отсортировать; [math]n[/math] — количество элементов в нем; [math] \mathrm{buildHeap(A)} [/math] - процедура, которая строит из передаваемого массива невозрастающую кучу в этом же массиве; [math] \mathrm{siftDown(A, i, len)} [/math] — процедура, которая просеивает вниз элемент [math]A[i][/math] в куче из [math]len[/math] элементов, находящихся в начале массива [math]A[/math].

 fun heapsort(A : list <T>)
   buildHeap(A);
   heapSize = A.size;
   for i = 0 to n - 2
     swap(A[0], A[n - 1 - i]);
     heapSize--;
     siftDown(A, 0, heap_size);

Сложность

Операция [math] \mathrm{siftDown} [/math] работает за [math]O(\log{n})[/math]. Всего цикл выполняется [math](n - 1)[/math] раз. Таким образом сложность сортировки кучей является [math]O(n\log{n})[/math].

Пример

Строим кучу	Первый проход	Строим новую кучу
Второй проход	Третий проход	Четвертый проход

Пусть дана последовательность из [math]5[/math] элементов [math]3, 2, 4, 1, 5[/math].

Массив	Описание шага
5 3 4 1 2	Строим кучу из исходного массива
Первый проход
2 3 4 1 5	Меняем местами первый и последний элементы
4 3 2 1 5	Строим кучу из первых четырех элементов
Второй проход
1 3 2 4 5	Меняем местами первый и четвертый элементы
3 1 2 4 5	Строим кучу из первых трех элементов
Третий проход
2 1 3 4 5	Меняем местами первый и третий элементы
2 1 3 4 5	Строим кучу из двух элементов
Четвертый проход
1 2 3 4 5	Меняем местами первый и второй элементы
1 2 3 4 5	Массив отсортирован

JSort

JSort является модификацией сортировки кучей, которую придумал Джейсон Моррисон (Jason Morrison). Алгоритм частично упорядочивает массив, строя на нем два раза кучу: один раз передвигая меньшие элементы влево, второй раз передвигая большие элементы вправо. Досортировав массив сортировкой вставками, можно получить временную сложность [math]O(n)[/math] в лучшем случае.

Сортировка кучей обладает двумя большими недостатками:

• Невозможность использования кэша, так как наше движение по массиву в чем-то похоже на хаотичное.
• На почти отсортированных массивах работает столь же долго, как и на хаотических данных.

Так как в Jsort на последнем этапе используется сортировка вставками, то это частично решает проблемы сортировки кучей.

Алгоритм

Необходимо отсортировать массив. Построим невозрастающую кучу на этом массиве. Тогда наименьший элемент окажется на первой позиции, а левая часть массива окажется почти отсортированной, так как ей будут соответствовать верхние узлы кучи. Теперь построим на этом же массиве кучу так, чтобы немного упорядочить правую часть массива. Эта куча должна быть неубывающей и быть "зеркальной" к массиву, то есть чтобы ее корень соответствовал последнему элементу массива. Получившийся почти отсортированный массив досортируем сортировкой вставками.

Сложность

Постройка кучи занимает [math]O(n)[/math]. Почти упорядоченный массив сортировка вставками может отсортировать [math] O(n)[/math], но в худшем случае за [math]O(n^2)[/math] в худшем.

Таким образом в худшем случае сложность JSort является [math]O(n^2)[/math], а в лучшем [math]O(n)[/math]

Пример

Рассмотрим, массив [math] A [/math] = [math] (1, 2, 8, 15, 17, 20, 31, 32, 30, 2, 3, 5, 10, 11, 24 ) [/math] Построим на этом массиве невозрастающую кучу:

Сам массив же будет выглядеть следующим образом:

Заметим, что начало почти упорядочено, что хорошо скажется на использовании сортировки вставками.

Построим теперь зеркальную неубывающую кучу на этом же массиве.

Сам массив же будет выглядеть следующим образом:

Теперь и конец массива выглядит упорядоченным, применим сортировку вставками и получим отсортированный массив.

См. также

• Сортировка слиянием
• Быстрая сортировка
• Теорема о нижней оценке для сортировки сравнениями

Источники информации

• Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Издательский дом "Вильямс", 2005. ISBN 5-8459-0857-4
• Wikipedia — Heapsort
• Wikipedia — JSort
• Хабрахабр — Описание сортировки кучей и JSort