Преобразование Адамара

Преобразование Адамара H (Hadamar) - унитарный оператор, действующий на кубит по правилу:
[math]\hat{H}|0\rangle = \frac {1} {\sqrt2} |0\rangle + \frac {1} {\sqrt2} |1\rangle[/math]
[math]\hat{H}|1\rangle = \frac {1} {\sqrt2} |0\rangle - \frac {1} {\sqrt2} |1\rangle[/math]

Для входного вектора преобразование выдаст следующее:
[math]\hat{H}|\psi\rangle = \hat{H}(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle) = \frac {1} {\sqrt2} (\alpha + \beta) |0\rangle + \frac {1} {\sqrt2} (\alpha - \beta) |1\rangle[/math]

Элемент Адамара задается матрицей:
[math] H = \frac {1} {\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} [/math]

Если преобразование Адамара применить два раза, то получится исходное состояние.

Если представлять состояние квантового кубита как точку на окружности, то преобразование Адамара равносильно симметричному относительно луча под углом [math] \pi/8 [/math] отражению точки.

Так же можно описать преобразование Адамара как битовое отображение: [math] (a, b, c) \rightarrow (a, b, c \oplus (a \wedge b) ) [/math].