Представление чисел с плавающей точкой

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья находится в разработке!

Плавающая точка

Определение:
Плавающая точка (floating point) - метод представления действительных чисел, при котором число хранится в виде мантиссы и показателя степени.

Такой метод является компромиссом между точностью и диапазоном представляемых значений. Представление чисел с плавающей точкой рассмотрим на примере чисел двойной точности (double precision). Такие числа занимают в памяти два машинных слова (8 байт на 32-битных системах). Наиболее распространенное представление описано в стандарте IEEE 754.

Числа двойной точности

Число с плавающей точкой хранится в нормализованной форме и состоит из трех частей (в скобках указано количество бит, отводимых на каждую секцию в формате double):

  1. знак
  2. экспонента (показатель степени)
  3. мантисса

В качестве базы (основания степени) используется число 2.

Знак
Порядок
(11 бит) 		Мантисса
(52+1 бит)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
62 52 51 0
Утверждение:
Итоговое значение числа вычисляется по формуле:
[math] x = (-1)^{sign} \times (1.mant) \times 2^{exp} [/math]

Нормальная и нормализованная формы

Определение:
Нормальной называется форма представления числа, при которой абсолютное значение мантиссы десятичного числа находится на полуинтервале [math] [0,1) [/math].

Недостатком такой записи является тот факт, что числа нельзя записать однозначно: [math] 0.001 = 0.01 \times 10^0 [/math].

Определение:
Нормализованной называется форма представления числа, при которой абсолютное значение мантиссы десятичного числа лежит на полуинтервале [math] [1, 10) [/math], а двоичного на полуинтервале [math] [1, 2) [/math].


Свойства чисел с плавающей точкой

  1. В нормализованном виде любое отличное от нуля число представимо в единственном виде. Недостатком такой записи является тот факт, что невозможно представить число 0.
  2. Так как старший бит двоичного числа, записанного в нормализованной форме, всегда равен 1, его можно опустить. Это используется в стандарте IEEE 754.
  3. В отличие от целочисленных стандартов (например, integer), имеющих равномерное распределение на всем множестве значений, числа с плавающей точкой (double, например) имеют квазиравномерное распределение.
  4. В следствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).
  5. Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой.
  6. Точно в таком формате представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53). Остальные числа попадают в некоторый диапазон и округляются до ближайшей его границы. Таким образом, абсолютная погрешность составляет половину величины младшего бита.
  7. В формате double представимы числа в диапазоне [math] [1.7 \times 10^-308, 1.7 \times 10^308] [/math].

Машинная эпсилон

Определение:
Машинная эпсилон - наименьшее положительное число [math] \varepsilon_m [/math], такое что, [math] 1 \oplus \varepsilon_m = 1 [/math], где [math] \oplus [/math] - машинное сложение.
Утверждение:
Таким образом, компьютер не различает числа [math] x [/math] и [math] y [/math], если [math] 1 \lt \frac{x}{y} \lt 1 + \varepsilon_m [/math].
Утверждение:
Из свойств чисел двойной точности следует, что для них [math] \varepsilon_m = 2^{-54}[/math].

Погрешность предиката "левый поворот"

TODO: Вывести

Ссылки

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Представление_чисел_с_плавающей_точкой&oldid=12983»