Сходимость по мере

Эта статья находится в разработке!

TODO: ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ

Функции [math]f_n, f[/math] — измеримы на [math]E[/math], [math]E(|f_n - f| \geq \delta)[/math], [math]\delta \gt 0[/math]. Это измеримые множества.

Определение:

[math]f_n[/math] стремятся по мере на [math]E[/math] к [math]f[/math] ([math]f_n\stackrel{[E]}{\Rightarrow} f[/math]), если [math]\forall\delta\gt 0 : \mu E(|f_n - f| \geq \delta) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0[/math]

В определённом смысле, это наиболее слабый вид сходимости, что подтверждает следующая классическая теорема Лебега.

Теорема Лебега

Теорема (Лебег):

[math]\mu E\lt +\infty[/math], [math]f_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]. Тогда [math]f_n\stackrel{E}{\Rightarrow} +\infty[/math]. При этом, [math]\mu E\lt +\infty[/math] — существенно

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Продемонстрируем, что условие конечности меры важно Утверждение: [math]\mu E \lt +\infty[/math] — существенно [math]\triangleright[/math] Рассмотрим функции [math]f_n(x)=\begin{cases}0 &, 0 \leq x \lt n\\1 &, x\geq n\end{cases}[/math], [math]E = \mathbb{R}^+[/math]. Фиксируем [math]x[/math]. [math]n\to \infty[/math], [math]\exists N : n \gt x \Rightarrow f_n(x) = 0[/math]. Значит, [math]f_n(x) \to 0[/math] всюду на [math]\mathbb{R}^+[/math]. [math]\lambda(\mathbb{R^+}) = +\infty[/math] [math]\delta=\frac12[/math], [math]E(|f_n - f|\geq \delta) = \mathbb{R}^+(|f_n(x)| \geq \frac12) = [n; +\infty)[/math] Значит, [math]\lambda E(|f_n-f|\geq \delta) = +\infty[/math] Значит, [math]f_n \not\Rightarrow 0[/math], хотя стремится к [math]0[/math] почти всюду. [math]\triangleleft[/math] [math]E'=\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)[/math] По условию теоремы, [math]\mu E' = 0[/math] [math]\forall p=1, 2, \ldots : \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m}^\infty (...)[/math], очевидно, содержится в [math]E'[/math] Отсюда, по полноте меры, [math]\mu \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m}^\infty (...) = 0[/math] [math]B_m = \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \supset B_{m+1}[/math] По монотонности меры, [math]\mu B_i[/math] — убывающая числовая последовательность.Значит, у неё есть предел. Покажем, что это [math]0[/math]. Или, более общий факт: [math]\mu B_m \to \mu \bigcap\limits_{n=1}^\infty B_n = 0[/math] Для этого воспользуемся тем, что [math]\sup \mu E[/math] — конечен. [math]B = \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m[/math] [math]\bar B = \bigcup\limits_{m=1}^\infty \bar B_m[/math], [math]B_m[/math] — убывающая ([math]B_m \supset B_{m+1}[/math]), значит, дополнения растут: [math]\bar B_m \subset \bar B_{m+1}[/math]. Значит, [math]\bar B = \bar B_1 \cup (\bar B_2 \setminus \bar B_1) \cup (\bar B_3 \setminus \bar B_2) \ cup \ldots[/math]. [math]\bar B \subset E[/math]. Значит, [math]\mu B \leq \mu E \lt +\infty[/math]. По [math]\sigma[/math]-аддитивности, [math]\mu\bar B = \mu\bar B_1 + \mu(\bar B_2 \setminus\bar B_1) + \mu(\bar B_3 \setminus \bar B_2) + \cdots[/math]. В силу конечности [math]\mu E[/math], [math]\mu(\bar B_2 \setminus \bar B_1) = \mu \bar B_2 - \mu \bar B_1[/math] Вставляя это в ряд и вспоминая, что ряд — предел частичных сумм, получаем [math]\mu\bar B = \mu\bar B_1 - \mu \bar B_1 + \mu\bar B_2 - \mu \bar B_3 + \mu\bar B_3 - \cdots[/math] [math]\mu B_m = \mu E - \mu \bar B_m[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\mu B = \mu E - \mu \bar B[/math] Значит, [math]\mu B_m \to \mu B[/math] В нашем случае [math]\mu B =0[/math] [math]\forall p : \mu \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \to 0[/math] [math]\forall \delta \gt 0\ \exists p_0 \in \mathbb{N} : \frac1{p_0} \leq \delta[/math] [math]E(|f_m - f| \geq \delta) \subset E(|f_m-f|\geq \frac1{p_0}) \to 0[/math] Значит, [math]f_n \stackrel{E}{\rightarrow} f[/math]

[math]\triangleleft[/math]