Формула Уитни

Теорема (Уитни):

Пусть [math]G[/math] - обыкновенный [math](n, m)[/math] - граф. Тогда коэффициент при [math]x^i[/math], где [math]1\le i\le n[/math] в хроматическом многочлене [math]P(G, x)[/math] равен [math]\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)}[/math], где [math]N(i, j)[/math] - число остовных подграфов графа [math]G[/math], имеющих [math]i[/math] компонент связности и [math]j[/math] рёбер, т.е. [math]P(G, x) = \sum \limits_{i=1}^{n}{(\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j))x^i}}.[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]K[/math] — некоторый набор из [math]x[/math] красок. Отображение [math]\phi[/math] из [math]VG[/math] в [math]K[/math], не являющееся раскраской графа [math]G[/math], будем называть его несобственной раскраской. Всего собственных и несобственных [math]x[/math] — раскрасок графа [math]G[/math] — [math]x^n[/math]. Возьмём некоторую собственную или несобственную раскраску графа [math]G[/math]. Удалим из графа каждое ребро, концы которого раскрашены в разный цвет. Получим остовный подграф [math]H[/math], в котором каждое ребро соединяет вершины одинакового цвета. Исходную собственную или несобственную раскраску будем называть строго несобственной раскраской остовного подграфа [math]H[/math]. Каждой компоненте связности графа [math]H[/math] соответствует точно один цвет - цвет её вершин. Если остовный подграф [math]H[/math] имеет [math]i[/math] компонент связности, то есть [math]x^i[/math] различных строго несобственных раскрасок, отвечающих остовному подграфу [math]H[/math]. Каждая собственная или несобственная раскраска графа [math]G[/math] является строго несобственной раскраской его остовного подграфа. Собственным раскраскам графа [math]G[/math] отвечает нулевой остовный подграф. Пусть [math]N(i, j)[/math] — число остовных подграфов графа [math]G[/math], имеющих [math]i[/math] компонент связности и [math]j[/math] рёбер. Из общего числа [math]x^n[/math] собственных и не собственных раскрасок вычтем число строго несобственных раскрасок остовных подграфов, имеющих ровно одно ребро. Если мы вычтем сумму [math] \sum \limits_{i}{N(i, 1)x^i} [/math], то мы вычтем помимо указанного числа ещё и избыточную величину. Действительно, допустим [math]e_1 = u_1v_1[/math] и [math]e_2 = u_2v_2[/math] — два различных ребра графа [math]G[/math]. Тогда в число строго несобственных раскрасок остовного подграфа, содержащего точно одно ребро [math]e_1[/math], попадут и те, у которых вершины [math]e_1[/math] и [math]e_2[/math], а это в свою очередь строго несобственные раскраски остовного подграфа, содержащего ровно два ребра [math]e_1[/math] и [math]e_2[/math]. При этом их число мы вычтем дважды — для [math]e_1[/math] и [math]e_2[/math]. Аналогично, число строго несобственных раскрасок остовных подграфов, содержащих точно три, четыре и более ребер будет вычтено соответствующее число раз. Добавим сумму [math]\sum \limits_{i}{N(i, 2)x^i}[/math], компенсируя при этом двукратное вычитание, но при этом возникнет необходимость компенсации излишне добавленных чисел строго несобственных раскрасок для остовных подграфов с тремя, четырьмя и более ребрами. Итого, по принципу включения-исключения получаем, что число собственных раскрасок графа [math]G[/math] равно [math]x^n - \sum \limits_{i}{N(i, 1)x^i} + \sum \limits_{i}{N(i, 2)x^i} - \sum \limits_{i}{N(i, 3)x^i} + ...[/math] Так как [math]N(n, 0) = 1[/math], то [math]P(G, x) = \sum \limits_{j=0}^{m}{\sum \limits_{i=1}^{n}{(-1)^jN(i, j)x^i}} = \sum \limits_{i=1}^{n}{\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)x^i}}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Асанов М,, Баранский В., Расин В. - Дискретная математика - Графы, матроиды, алгоритмы