Теорема о нижней оценке для сортировки сравнениями

Определение:

Сортировка сравнениями — алгоритм сортировки, который совершает операции сравнения элементов, но никак не использует их внутреннюю структуру.

Теорема (о нижней оценке для сортировки сравнениями):

В худшем случае любой алгоритм сортировки сравнениями выполняет [math]\Omega(n \log n)[/math] сравнений, где [math]n[/math] — число сортируемых элементов.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Любому алгоритму сортировки сравнениями можно сопоставить дерево. В нем узлам соответствуют операции сравнения элементов, ребрам — переходы между состояниями алгоритма, а листьям — конечные перестановки элементов (соответствующие завершению алгоритма сортировки). Необходимо доказать, что высота такого дерева для любого алгоритма сортировки сравнениями не меньше чем [math]O(n \log n)[/math], где [math]n[/math] — количество элементов. При сравнении двух элементов, существует два возможных исхода ([math]a_i \lt a_j[/math] и [math]a_i \geq a_j[/math]), значит, каждый узел дерева имеет не более двух сыновей. Всего существует [math]n![/math] различных перестановок [math]n[/math] элементов, значит, число листьев нашего дерева не менее [math]n![/math] (в противном случае некоторые перестановки были бы не достижимы из корня, а, значит, алгоритм не правильно работал бы на некоторых исходных данных). Пример дерева для алгоритма сортировки [math]n = 3[/math] элементов Докажем, что двоичное дерево с не менее чем [math]n![/math] листьями имеет глубину [math]\Omega(n \log n)[/math]. Очевидно, что двоичное дерево высоты [math]h[/math] имеет не более чем [math]2^h[/math] листьев (легко доказать по-индукции). Значит, имеем неравенство [math]n! \le l \le 2^h[/math], где [math]l[/math] — количество листьев. Прологарифмировав его, получим: [math] h \geq \log_2 n! = \log_2 1 + \log_2 2 + \ldots + \log_2 n \gt [/math] [math]n/2 \log_2 (n/2) = n/2(\log_2 n - 1) = \Omega (n \log n)[/math] Итак, для любого алгоритма сортировки сравнениями, существует такая перестановка, на которой он выполнит [math]\Omega(n \log n)[/math] сравнений, ч. т. д.

[math]\triangleleft[/math]

Если алгоритм сортировки является рандомизированным, то для него справедливо, что нижняя граница матожидания времени работы для сортировки сравнениями [math]n[/math] элементов ровна [math] \Omega(n \log n) [/math]. Доказательство этой теоремы можно прочесть в «Алгоритмы: построение и анализ».

Источники

• Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Глава 8. Сортировка за линейное время // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — 1296 с
• Андрей Калинин Сортировка за линейное время
• Конспект по курсу "Алгоритмы и алгоритмические языки" (доказательство теоремы через формулу Стирлинга).