* - ТРЕБУЕТ ДОРАБОТКИ
ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ
definitions
В архиве фотки со всеми определениями в том порядке, в котором они даны выше.
Определения
Жорданово множество
Объем жорданова множества
1- и 2-формы
Дифференциальная 1- или 2-форма в $\mathbb R^n$
Внешнее произведение форм
Внутреннее произведение
Интеграл 1-формы по ориентированной кривой
Ориентированная область в $\mathbb R^2$
Правоориентированная область
Дифференциал дифференциальной формы
Перенос формы при гладком отображении
Интеграл от 2-формы по ориентированной области в $\mathbb R^2$
Полукольцо
Алгебра
Сигма-алгебра
Объем
| Определение: |
[math]\mu : P \rightarrow \overline{\mathbb R}[/math] — объем, если:
- [math]\mu(\varnothing) = 0[/math]
- [math]\forall A, A_1 ... A_n \in P : A = \underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}{A_i} \Rightarrow \mu A = \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}{A_i}[/math]
- [math]\forall A: \mu A \ge 0[/math]
Если [math]\forall A : \mu A \neq +\infty[/math], то объем называется конечным. |
Мера
Сигма-конечная мера
Борелевская оболочка системы множеств
Борелевская сигма-алгебра в $\mathbb R^m$
Мера Лебега
Теорема о Лебеговском продолжении меры
Полная мера
Теорема о мерах, инвариантных относительно сдвига
Мера Лебега--Стилтьеса, мера Бореля--Стилтьеса
Степенчатая функция
Разбиение, допустимое для ступенчатеой функции
Измеримая функция
Свойство, выполняющееся почти везде
Сходимость почти везде
Сходимость по мере
Эквивалентные функции
Формулировки
Характеризация жордановых множеств с помощью параллелепипедов
Аддитивность интеграла по жорданову множеству. Усиленная аддитивность
Теорема Фубини
Свойства переноса 1-форм (внешнее произведение, диффернциал, вычисление на векторе)
Свойства объема: усиленная монотонность, конечная полуаддитивность, "субтрактивность"
Теорема об эквивалентности счетной аддитивности и счетной полуаддитивности
Теорема о непрерывности снизу
Теорема о непрерывности сверху
Счетная аддитивность классического объема
Регулярность меры Лебега
Лемма о переносе меры с помощью отображения
Лемма о сохранении измеримости
Теорема о сохранении измеримости при гладком отображении
Сохранение меры Лебега при ортогональных преобразованиях
Лемма "о структуре компактного оператора"
Теорема о преобразовании меры Лебега при линейном отображении
Теорема об измеримости пределов и супремумов
Характеризация измеримых функций с помощью ступенчатых
Измеримость монотонной функции
Теорема Лебега о сходимости почти везде и сходимости по мере
Теорема Рисса о сходимости по мере и сходимости почти везде
