Алгебра и геометрия 1 курс:Билеты 2 семестра

Господа, я был бы очень рад, если бы вы продолжили мою работу.

билет №1

1. Линейный оператор
2. Собственные векторы и собственные значения
3. Квадратичные формы

билет №2

1. Пространство линейных операторов
2. Кратности собственных чисел
3. Квадратичные формы

билет №3

1. Алгебра
2. Cпектральный анализ скалярного оператора
3. Квадратичные формы

билет №4

1. Алгебра
2. Нильпотентные операторы
3. Квадратичные формы

билет №5

1. Обратная матрица
2. Инвариантные подпространства
3. Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор

билет №6

1. Обратная матрица
2. Минимальный полином и инвариантные подпространства
3. Унитарный и ортогональный операторы

билет №7

1. Ядро и образ линейного оператора
2. Собственные векторы и собственные значения
3. Унитарный и ортогональный операторы

билет №8

1. Обратный оператор
2. Собственные векторы и собственные значения
3. Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор

билет №9

1. Замена базиса
2. Спектральная теорема
3. Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор

билет №10

1. Замена базиса
2. Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром
3. Ковариантность и контравариантность

билет №11

1. Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы
2. Спектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема
3. Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов

билет №12

1. Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей
2. Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора
3. Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств

билет №13

1. Транспонирование тензора
2. Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах
3. Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенства Бесселя и Парсеваля

билет №14

1. Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.
2. Cтруктура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор).
3. Задача о перпендикуляре.

билет №15

1. Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
2. Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.
3. Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.

билет №16

1. Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров.
2. Жорданова форма матрицы линейного оператора.
3. Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

билет №17

1. Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.
2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление.
3. Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.

билет №18

1. Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
2. Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
3. Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.

билет №19

1. Транспонирование тензора.
2. Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
3. Метрические, нормированные и евклидовы пространства

билет №20

1. Свертка тензора.
2. Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.
3. Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.

билет №21

1. Линейные операторы и их матричная запись. Примеры.
2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление.
3. Квадратичные формы: одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.

билет №22

1. Пространство линейных операторов
2. Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли
3. Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.

билет №23

1. Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр.
2. Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
3. Квадратичные формы: приведение к каноническому виду унитарным преобразованием.

билет №24

1. Алгебра операторов и матриц.
2. Нильпотентные операторы (определение, простейшие свойства). Жорданова клетка.
3. Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа.

билет №25

1. Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы.
2. Инварианты линейного оператора. Инвариантные подпространства.
3. Приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.

билет №26

1. Обратная матрица: критерий обратимости, вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
2. Минимальный полином и инвариантные подпространства. Спектральная теорема для линейного оператора произвольного вида.
3. Унитарный оператор: теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.

билет №27

1. Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
2. Ультраинвариантные подпространства
3. Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства.

билет №28

1. Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.
2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения и свойства.
3. Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: спектральная теорема, минимальное свойство.

билет №29

1. Преобразование координат векторов Х и Х* при замене базиса.
2. Спектральная теорема и инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.
3. Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора.

билет №30

1. Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.
2. Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
3. Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства.

билет №31

1. Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы.
2. Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
3. Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.

билет №32

1. Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
2. Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора.
3. Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.

билет №33

1. Транспонирование тензора.
2. Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.
3. Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля.

билет №34

1. Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.
2. Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор).
3. Задача о перпендикуляре.

билет №35

1. Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
2. Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.
3. Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.

билет №36

1. Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тен-зоров.
2. Жорданова форма матрицы линейного оператора.
3. Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

билет №37

1. Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.
2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление.
3. Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.

билет №38

1. Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
2. Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
3. Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.

билет №39

1. Транспонирование тензора.
2. Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
3. Метрические, нормированные и евклидовы пространства.

билет №40

1. Свертка тензора.
2. Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.
3. Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.