Кратчайший путь в ациклическом графе

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Пусть дан ациклический ориентированный взвешенный граф. Требуется найти вес кратчайшего пути из u в v

Определение:
Кратчайший путь из u в v – это такой путь из u в v, что его суммарный вес входящих в него ребер минимален

Решение

Пусть [math]d[/math] — функция, где [math]d(i)[/math] — вес кратчайшего пути из [math]u[/math] в [math]i[/math]. Ясно, что [math]d(u)[/math] равен 0. Пусть [math]w(i, j)[/math] - вес ребра из [math]i[/math] в [math]j[/math]. Будем обходить граф в порядке топологической сортировки. Получаем следующие соотношения:

[math] d(i) = \min\limits_{\mathop{j:j \rightsquigarrow i}} (d(j) + w(j, i)) [/math]

Так как мы обходим граф в порядке топологической сортировки, то на [math]i[/math]-ом шаге всем [math]d(j)[/math] ([math]j[/math] такие, что существует ребро из [math]j[/math] в [math]i[/math]) уже присвоены оптимальные ответы, и, следовательно, [math]d(i)[/math] также будет присвоен оптимальный ответ.

Реализация

Реализуем данный алгоритм: 

 //w - матрицы как в описании, d - массив как в описании, p - массив индексов вершин графа в порядке топологической сортировки, i, j - счетчики 

 inputData() //считывание данных 

 for i = 1 to n
   d[i] = infinity 

 p = topSort(w) //топологическая сортировка графа 

 d[u] = 0 

 for i = 1 to n
   for j: есть ребро из p[i] в j
     d[j] = min(d[j], d[p[i]] + w[p[i]][j]) 

 writeData(); // запись данных

Пример

граф из примера

Пусть дан граф со следующими весами w ребер:

1 2 3 4 5 6 7 8
1 - - - 5 - - - -
2 1 - 1 - 4 3 - -
3 - - - - - 1 - -
4 - - - - - - - -
5 - - - 3 - - - 1
6 - - - 5 - - 2 -
7 - - - 2 - - - -
8 - - - 1 - - - -

Требуется найти путь из 2 в 4.
Массив p будет выглядеть следующим образом:

1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 6 7 1 5 8 4

Массив d будет выглядеть следующим образом:

1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 1 5 3 2 4 4

Ответ равен 5.

Источники

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Кратчайший_путь_в_ациклическом_графе&oldid=34362»