Основные определения, связанные со строками

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Базовые определения

Определение:
Символ (англ. symbol) — объект, имеющий собственное содержание и уникальную читаемую форму.


Определение:
Алфавит (англ. alphabet) — конечное непустое множество символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой [math]\Sigma[/math].


Наиболее часто используются следующие алфавиты:

  • [math]\Sigma=\{0, 1\}[/math] — бинарный или двоичный алфавит.
  • [math]\Sigma=\{a, b, ...,z\}[/math] — множество строчных букв английского алфавита.
  • [math]\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} [/math] — алфавит цифр.
  • [math]\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} [/math] — алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.
  • Нотные знаки


Определение:
Слово (англ. string) или цепочка — конечная последовательность символов некоторого алфавита.


Определение:
Пустая цепочка (англ. empty string) — цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую [math] \varepsilon [/math], можно рассматривать как цепочку в любом алфавите.


Определение:
Длина цепочки (англ. string length) — число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки [math]w[/math] обычно обозначают [math]|w|[/math].


Определение:
[math]\Sigma^k[/math] — множество цепочек длины [math]k[/math] над алфавитом [math]\Sigma[/math].


Определение:
[math]\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k[/math] — множество всех цепочек над алфавитом [math]\Sigma[/math].


Определение:
Язык (англ. language) над алфавитом [math]\Sigma[/math] — некоторое подмножество [math]\Sigma^*[/math]. Иногда такие языки называют формальными (англ. formal), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.


Отметим, что язык в [math]\Sigma[/math] не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы [math]\Sigma[/math]. Поэтому, если известно, что [math]L[/math] является языком над [math]\Sigma[/math], то можно утверждать, что [math]L[/math] — это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством [math]\Sigma[/math].


Определение:
Пусть [math]x, y \in \Sigma^*[/math]. Тогда [math] x \cdot y [/math] или [math] xy [/math] обозначает их конкатенацию (англ. concatenation), т.е. цепочку, в которой последовательно записаны цепочки [math] x [/math] и [math] y [/math].


Множество строк с операцией конкатенации образует свободный моноид.

Операции над языками

Пусть [math]L[/math] и [math]M[/math] — языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.

  1. Теоретико-множественные операции:
    • [math]L \cup M[/math] — объединение,
    • [math]L \cap M [/math] — пересечение,
    • [math]L \setminus M[/math] — разность,
    • [math]\overline{L}=\Sigma^* \setminus L[/math] — дополнение.
  2. Конкатенация: [math]LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}[/math].
  3. Конкатенация с обратным языком: [math]LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}[/math]; конкатенация с обратным словом: [math]Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*[/math].
  4. Степень языка: [math]L^k=\begin{cases} \{\varepsilon\}, k = 0\\ LL^{k-1}, k \gt 0. \end{cases} [/math]
  5. Замыкание Клини: [math]L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i[/math].
  6. Гомоморфизм

Примеры

  • [math](\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)[/math] — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
  • [math](\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)[/math] — аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
  • [math](\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*[/math] — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
  • Если [math]L_p[/math] — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык [math](L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*))[/math] будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
  • [math]\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}[/math].

Гомоморфизм языков

Определение:
Пусть даны два алфавита [math]\Sigma_1, \Sigma_2[/math]. Гомоморфизмом называется такое отображение [math] \varphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}[/math], что:
  • [math]\varphi(\varepsilon) = \varepsilon[/math], то есть сохраняет пустую строку
  • [math]\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \varphi(w_1)\varphi(w_2)[/math], то есть сохраняет конкатенацию


Определение:
Образом языка [math]L \subset \Sigma_1^* [/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*[/math] (иногда называют прямым гомоморфизмом) называется язык [math]M = \varphi(L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}[/math].
Заметим, что [math]\varphi[/math] будет гомоморфизмом моноидов [math]\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle[/math] и [math]\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle[/math]


Определение:
Прообразом языка [math]M \subset \Sigma_2^*[/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*[/math] (иногда называют обратным гомоморфизмом) называется язык [math]L = \varphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}[/math].
Заметим, что [math]\varphi[/math] будет гомоморфизмом моноидов [math]\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle[/math] и [math]\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle[/math]


Примеры

  • тривиальные гомоморфизмы
    • обнуляющий: [math] \varphi(x) = \varepsilon, x \in L [/math], тогда [math] \varphi(L) = \{ \varepsilon \} [/math]
    • тождественный: [math] \varphi(x) = x, x \in L [/math], тогда [math] \varphi(L) = L [/math] и [math] \varphi^{-1}(L) = L[/math]
  • гомоморфизм цепочек — функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения [math] h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* [/math] гомоморфизмом цепочек будет функция [math] \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* [/math], действующая от каждого символа строки из языка следующим образом [math] \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) [/math]. Регулярные языки замкнуты относительно гомоморфизма цепочек
  • солнечный язык из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ [math] z [/math] переходит в [math] zCz [/math]
  • циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний — в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.

Ссылки

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Основные_определения,_связанные_со_строками&oldid=38923»