Формула полной вероятности
Формула полной вероятности (англ. law of total probability) позволяет вычислить вероятность интересующего события через вероятности его произойти при выполнении гипотез с заданной вероятностью. Формула полной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример:
Из деталей изготовлены в первом цехе, — во втором, а остальные — в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью , второй цех — с вероятностью . Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?
Содержание
Теорема
| Определение: |
Полной системой событий называется не более чем счётное множество событий , таких что:
|
В этом случае события ещё называются гипотезами.
| Теорема (формула полной вероятности): |
Вероятность события , которое может произойти только вместе с одним из событий , образующих
полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез. |
| Доказательство: |
|
Так как события образуют полную систему событий, то по определению событие можно представить следующим образом:
События попарно несовместны, значит, события тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем: |
Использование формулы полной вероятности
Рассмотрим два примера
Пример 1
Условие. Имеются одинаковые урны с шарами. В первой из них находится белых и черных шара, во второй — белых и чёрных, а в третьей — чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?
Решение. Будем считать события выбором урны с соотвествующим номером, а событие — выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит:
Теперь найдём вероятность события при выборе каждой урны:
В результате получаем
Пример 2
Рассмотрим пример из введения.
Решение. Обозначим за событие — выбрана деталь отличного качества, тогда событие — выбранная деталь изготовлена в цехе (где ).
По условию задачи, вероятности производства продукции отличного качества в каждом цехе:
Теперь восползуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности:
