Примеры булевых функций
Содержание
Определение булевой функции
| Определение: |
| Булева функция - отображение Bn → B , где B={0, 1}. n - количество аргументов функции, также называется ее арностью. |
Для n переменных существует 2n различных наборов аргументов, и, соответственно, 22n различных функций от них.
Виды булевых функций
От нуля переменных(нульарные функции)
Для нуля переменных есть только один набор аргументов(пустое множество) и две функции - тождественный 0 и тождественная 1.
От одной переменной(унарные функции)
Для одной переменной есть два набора аргументов - {0} и {1}. Для них определено четыре унарных функции.
| x | 0 | x | ¬x | 1 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| Сохраняет 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| Сохраняет 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| Самодвойственная | 0 | 1 | 1 | 0 |
| Монотонная | 1 | 1 | 0 | 1 |
| Линейная | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 - тождественный ноль
x - тождественная функция
¬x - отрицание, также обозначается
1 - тождественная единица
От двух переменных(бинарные функции)
Для двух переменных есть четыре набора переменных - {0,0}, {0,1}, {1,0} и {1,1}, для них определено 16 бинарных функций.
| x | y | 0 | ∧ | x | y | ⊕ | ∨ | ↓ | ↔ | ¬y | ← | ¬x | → | ∇ | 1 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| Сохраняет 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| Сохраняет 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
| Самодвойственная | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| Монотонная | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| Линейная | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
0 - тождественный 0
∧ - конъюнкция, логическое И, также обозначается x and y, x&y , x·y
- отрицание импликации
x - первый проектор, также обозначается p1 или px
- отрицание обратной импликации
y - второй проектор, также обозначается p2 или py
⊕ - сложение по модулю 2, также обозначается x xor y, x≠y
∨ - дизъюнкия, логическое ИЛИ, также обозначается x or y, x+y , x | y
↓ - стрелка Пирса. Образует безызбыточный базис.
↔ - эквивалентность, также обозначается x=y
¬y - отрицание второго проектора
¬x - отрицание первого проектора
← - обратная импликация, также обозначается x≥y
→ - импликация, также обозначается x≤y
∇ - штрих Шеффера. Образует безызбыточный базис.
1 - тождественная 1
