Теорема Редеи-Камиона

Теорема (Редеи-Камиона (для пути)):

В любом турнире есть гамильтонов путь.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Приведем доказательство по индукции по числу вершин в графе. Пусть [math] n [/math] — количество вершин в графе. База индукции: Очевидно, для [math] n = 3 [/math] утверждение верно. Индукционный переход: Пусть предположение верно для всех турниров с количеством вершин не более [math] n [/math]. Рассмотрим турнир [math] T [/math] с [math] n + 1 [/math] вершинами. Пусть [math] u [/math] — произвольная вершина турнира [math] T [/math]. Тогда турнир [math] T - u [/math] имеет [math] n [/math] вершин, значит, в нем есть гамильтонов путь [math] P: (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_n) [/math]. Одно из ребер [math] (u, v_1) [/math] или [math] (v_1, u) [/math] обязательно содержится в [math] T [/math]. Если ребро [math] (u, v_1) \in ET [/math], то путь [math] (u \rightarrow P) [/math] — гамильтонов. Красным цветом выделен искомый путь Пусть теперь ребро [math] (u, v_1) \notin ET, v_i [/math] — первая вершина пути [math] P [/math], для которой ребро [math] (u, v_i) \in T [/math]. Если такая вершина существует, то в [math] T [/math] существует ребро [math] (v_{i - 1}, u) [/math] и путь [math] (v_1 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow u \rightarrow v_i \rightarrow \ldots v_n) [/math] — гамильтонов. Красным цветом выделен искомый путь Если такой вершины не существует, то путь [math] (P \rightarrow u) [/math] — гамильтонов. Красным цветом выделен искомый путь Значит, в любом случае в турнире существует гамильтонов путь, q.e.d.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Редеи-Камиона (для цикла)):

В любом сильно связанном турнире есть гамильтонов цикл.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Приведем доказательство по индукции по числу вершин в цикле. Пусть [math] n [/math] — количество вершин в графе. База индукции: Утверждение: Cильно связанный турнир [math] T [/math] из [math] n \geqslant 3 [/math] вершин содержит цикл длины [math] 3 [/math]. [math]\triangleright[/math] Пусть [math] u [/math] — произвольная вершина турнира [math] T [/math]. Множество вершин [math] VT - u [/math] распадается на [math] 2 [/math] непересекающихся множества: [math] V_1 = \{ v_1 \in VT \mid (v_1, u) \in ET \} [/math], [math] V_2 = \{ v_2 \in VT \mid (u, v_2) \in ET \} [/math]. [math] T [/math] сильно связен, следовательно: [math] V_1 \neq \emptyset [/math], иначе [math] v [/math] — исток турнира [math] V_2 \neq \emptyset [/math], иначе [math] v [/math] — сток турнира [math] \exists e = (w_2, w_1) \in ET [/math], иначе нет пути из [math] V_2 [/math] в [math] V_1 [/math]: [math] w_1 \in V_1 [/math], [math] w_2 \in V_2 [/math]. Красным цветом выделен цикл длины [math] 3 [/math] Цикл [math] S_3: (u \rightarrow w_2 \rightarrow w_1 \rightarrow u) [/math] — искомый цикл длины [math] 3 [/math], q.e.d. [math]\triangleleft[/math] Индукционный переход: Утверждение: Если сильно связанный турнир [math] T [/math] из [math] n \geqslant 3 [/math] вершин содержит цикл [math] S_k [/math] длины [math] k, (k \lt n)[/math], то он содержит и цикл длины [math] k + 1 [/math]. [math]\triangleright[/math] Пусть [math] S_k = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) [/math]. Пусть [math] v_0 : v_0 \notin S_k [/math] и верно, что [math] \exists u, w \in S_k [/math]: [math] (v_0, u) \in ET [/math], [math] (w, v_0) \in ET [/math]. Рассмотрим два случая: существует такая вершина [math] v_0 [/math], не существует такой вершины [math] v_0 [/math]. Заметим, что при [math] k = n - 1 [/math] такая вершина необходимо существует, так как иначе вершина, не входящая в цикл, будет являться либо стоком, либо истоком. Первый случай: Перенумеруем вершины [math] S_k [/math] так, чтобы ребро [math] e = (v_1, v_0) \in ET [/math] для вершины [math] v_1 \in S_k [/math]. Пусть [math] v_i [/math] – первая вершина при обходе [math] S_k [/math] из [math] v_1 [/math], для которой ребро [math] f = (v_0, v_i) \in ET [/math]. Тогда ребро [math] g = (v_{i - 1}, v_0) \in ET [/math]. Красным цветом выделен искомый цикл длины [math] k + 1 [/math] Тогда [math] S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow v_0 \rightarrow v_i \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) [/math] – искомый цикл длины [math] k + 1 [/math]. Второй случай: Пусть: [math] V_1 = \{ u \in VT \mid u \notin S_k, e = (u, v_i) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} [/math], [math] V_2 = \{ u \in VT \mid u \notin S_k, f = (v_i, u) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} [/math]. Тогда [math] V_1 \cap V_2 = \emptyset [/math]. Турнир сильно связен, следовательно: [math] V_1 \neq \emptyset [/math], иначе [math] T [/math] не будет сильно связным, так как тогда нет простых путей с началом в [math] V_2 [/math] и концом в [math] S_k [/math] [math] V_2 \neq \emptyset [/math], иначе [math] T [/math] не будет сильно связным, так как тогда нет простых путей с началом в [math] S_k [/math] и концом в [math] V_1 [/math] [math] \exists g = (w_2, w_1) \in ET [/math], иначе [math] T [/math] не будет сильно связным, так как тогда нет простых путей с началом в [math] V_2 [/math] и концом в [math] V_1 [/math]): [math] w_1 \in V_1 [/math], [math] w_2 \in V_2 [/math]. Красным цветом выделен цикл длины [math] k + 1 [/math] Тогда [math] S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow w_2 \rightarrow w_1 \rightarrow v_3 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) [/math] – искомый цикл длины [math] k + 1 [/math]. В любом случае утверждение верно, q.e.d. [math]\triangleleft[/math] Таким образом, любой сильно связанный турнир [math] T [/math] с [math] n \geqslant 3 [/math] вершинами содержит цикл длины [math] n [/math], то есть гамильтонов цикл, q.e.d.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Следствие):

Турнир является сильно связанным тогда и только тогда, когда он имеет гамильтонов цикл.

См. также

• Гамильтоновы графы
• Турниры

Источники информации

• Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы
• Ф. Харари: Теория графов