Мощность множества
Лекция от 20 сентября 2010.
Определения
Определение: |
Если А и В — произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, что они равномощны: |
Множество называется конечным, если его элементы можно пересчитать, иначе его оно называется бесконечным.
Определение: |
Если | , то A называется счетным множеством.
— счетное множество.
Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.
Утверждение: |
Если А - бесконечное множество, то в нем содержится по меньшей мере одно счетное подмножество. |
— бесконечное множество. — также бесконечное множество. Продолжаем этот процесс далее, пока не останется — счетное множество. TODO: (ЩИТО? У кого есть что-нибудь адекватное насчет этого, исправьте, пожалуйста.) |
Если
— совокупность попарно различных элементов, то это — счетное множество.Для счетных множеств часто применяется следующий факт:
Утверждение: |
Не более чем счетное объединение не более, чем счетных множеств, не более, чем счетно:
Пусть Тогда: — счетное/конечное множество. |
.
|
Определение: |
называется континииумом. |
Утверждение: |
— несчетное множество. |
Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков: Пусть Разделим I на 3 части и назовем . Такой отрезок всегда существует.Далее разобьем на 3 части. Назовем тот отрезок, который не содержит , и так далее..В результате выстраивается система вложенных отрезков:
По свойству системы вложенных отрезков:
По построению: . Пусть теперь . , но , противоречие. |
Если
, то обычно говорят, что А обладает мощностью континиума:Утверждение: |
Рассмотрим функцию С ее помощью можно установить биекцию между множествами и .Биекцию между множествами и можно установить параллельным переносом и сжатием:
Получили, что .Осталось доказать, что .Применим следующий прием: Пусть - попарно различны.Множество - счетное.Определим множество . Множество также счетное.Между счетными множествами можно установить биекцию: В итоге получили, что |
— счетно.
иррациональных чисел по мощности континииум.