1ripippmtnsumwu

[math] 1 \mid r_i,p_i=p, pmtn \mid \sum w_i U_i[/math]

Задача:

Дано [math]n[/math] работ и 1 станок. Для каждой работы известны её время появления [math]r_i[/math] и вес [math]w_i[/math], а также дедлайн [math]d_i[/math]. Время выполнения всех работ [math]p_i[/math] равно [math]p[/math]. Каждую работу можно прервать и продолжить ее выполнение в любой момент времени. Требуется выполнить все работы, чтобы значение [math]\sum w_i U_i[/math] (суммарный вес просроченных работ) было минимальным.

Решение

Постановка цели

Необходимо найти выполнимое множество работ [math]O[/math] такое, что его суммарный вес [math]\sum \limits_{i \in X} w_i[/math] максимален. Эта проблема решается с помощью динамического программирования. Предполагается, что работы отсортированы в порядке неубывания дедлайна.

Jackson's Preemptive Schedule

[math]JPS[/math] - это алгоритм построения расписания работ для одной машины с прерываниями. Пусть у нас есть множества работ [math]O[/math], для которых надо составить расписание, и множество [math]P \subset O[/math], которое состоит из работ, доступных для выполнения на данный момент. Возможны два случая:

1. Если машина освободилась, то вставляем в расписание работу [math]J_i\in P[/math] с наименьшим [math]d_i[/math]. Также удалим [math]J_i[/math] из [math]P[/math].
2. Если машина занята работой [math]J_k[/math] и в момент времени [math]r_i[/math] появилась работа [math]J_i[/math], тогда если [math]d_i \lt d_k[/math], то прервем [math]J_k[/math] и поставим на выполнение [math]J_i[/math], а [math]J_k[/math] добавим в [math]P[/math]. В противном случае просто добавим [math]J_i[/math] в [math]P[/math].

Можно заметить что, если работа была вставлена в [math]JPS[/math] после своего дедлайна, то данное множество работ [math]O[/math] не является выполнимым. Таким образом, решение задачи сводится к нахождению такого множества работ [math]O[/math], которое будет выполнимым по [math]JPS[/math] и чей вес будет максимален.

Лемма:

Пусть [math]\Theta=\{t \mid t = r_i + l \cdot p; i = 1, \dots, n; l = 0, \dots, n - 1\}[/math]. Тогда [math]\forall J_i \in O[/math] время начала [math]s_i[/math] и время окончания [math]e_i[/math] этой работы в [math]JPS[/math] будет принадлежать [math]\Theta[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Сначала докажем лемму для [math]e_i[/math]. Пусть [math]t[/math] - минимальная временная точка такая, что между [math]t[/math] и [math]s_i[/math] [math]JPS[/math] не простаивает. По структуре [math]JPS[/math] [math]t = r_x[/math]. Работы, которые выполняются между [math]s_i[/math] и [math]e_i[/math], не могут выполняться ни до [math]s_i[/math], ни после [math]e_i[/math], даже частично. Это следует из структуры [math]JPS[/math] - если работа [math]J_u[/math] была прервана работой [math]J_v[/math], то после выполнения [math]J_v[/math] мы снова вставляем в расписание [math]J_u[/math]. Таким образом, [math]e_i - s_i[/math] делится на [math]p[/math]. Возможны следующие два случая: [math]J_i[/math] вызвало прерывание, тогда [math]s_i = r_i[/math]. [math]J_i[/math] не вызывало прерываний, следовательно между [math]r_x[/math] и [math]s_i[/math] выполнилось некоторое количество работ, тогда [math]s_i - r_x[/math] делится на [math]p[/math]. В любом из этих двух случаев есть такое [math]r_y = r_x \vee r_i[/math], такое что [math]JPS[/math] не простаивает между [math]r_y[/math] и [math]e_i[/math]. Тогда [math]e_i - r_y[/math] делится на [math]p[/math]. Следовательно, [math]e_i - r_y[/math] не превышает [math]n \cdot p[/math], так как [math]JPS[/math] не простаивает. Поэтому [math]e_i \in \Theta[/math]. Теперь докажем принадлежность [math]s_i[/math] к [math]\Theta[/math]. По структуре [math]JPS[/math] [math]s_i[/math] - это либо окончание предыдущей работы [math]e_u[/math], либо [math]r_i[/math]. Таким образом, легко понять, что [math]s_i \in \Theta[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Динамика

Определение:

[math]\forall t_u, t_v \in \Theta, u \lt = v, \forall k = 1, \dots ,n:[/math] [math]U_k(t_u, t_v) = \{J_i \mid i \lt k ; t_u \lt = r_i \lt t_v\};[/math] [math]W_k(t_u, t_v, m)[/math] - максимальный вес [math]Z \subset U_k(t_u, t_v), |Z| = m[/math] такой, что [math]m \in (1, \dots ,n)[/math] и [math]JPS[/math] от [math]Z[/math] разрешимо и заканчивается до [math]t_v[/math]. Если такое [math]Z[/math] существует, будем говорить, что [math]Z[/math] реализует [math]W_k(t_u, t_v, m)[/math]. Если же такого [math]Z[/math] нет, то [math]W_k(t_u, t_v, m) = - \infty.[/math]

Лемма:

[math]\forall t_u, t_v \in \Theta, u \lt = v, \forall k \in (1, \dots ,n), \forall m \in (1, \dots ,n):[/math] [math]r_k \notin [t_u, t_v) \Rightarrow W_k(t_u, t_v, m) = W_{k-1}(t_u, t_v, m);[/math] Иначе [math]W_k(t_u, t_v, m) = \max(W_{k-1}(t_u, t_v, m), W'_k)[/math], где [math]W'_k = w_k + \max\limits_{\substack {t_x, t_y \in \Theta \\ m_1 + m_2 + m_3 = m - 1 \\ p \cdot (m_2 + 1) = t_y - t_x \\ \max(r_k, t_u) \leqslant t_x \lt t_y \leqslant \min(d_k, t_v)}}[/math] [math](W_{k-1}(t_u, t_x, m_1) + W_{k-1}(t_x, t_y, m_2) + W_{k-1}(t_y, t_v, m_3))[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Если [math]r_k \notin [t_u, t_v)[/math], то работа [math]J_k[/math] не может быть поставлена ни в какой [math]Z[/math] такой, что [math]JPS[/math] от [math]Z[/math] разрешимо и [math]Z \subset U_k(t_u, t_v)[/math]. Тогда, очевидно, что [math]W_k(t_u, t_v, m) = W_{k-1}(t_u, t_v, m);[/math] Теперь рассмотрим случай, когда [math]r_k \in [t_u, t_v)[/math]. Сначала докажем, что [math]W_k(t_u, t_v, m) \geqslant \max(W_{k-1}(t_u, t_v, m), W'_k)[/math]. [math]W_{k-1}(t_u, t_v, m) \geqslant W'_k[/math] Так как [math]U_{k-1}(t_u, t_v) \subseteq U_k(t_u, t_v)[/math], то [math]W_{k-1}(t_u, t_v, m) \leqslant W_k(t_u, t_v, m)[/math]. [math] W_{k-1}(t_u, t_v, m) \lt W'_k[/math] Пусть существуют такие [math]t_x, t_y \in \Theta[/math] и три числа [math]m_1,m_2,m_3[/math], такие что [math] \max(r_k, t_u) \leqslant t_x \lt t_y \leqslant \min(d_k, t_v)[/math], [math] m_1 + m_2 + m_3 = m - 1[/math], [math] p \cdot (m_2 + 1) = t_y - t_x.[/math] Очевидно, что [math]U_{k-1}(t_u, t_x), U_{k-1}(t_x, t_y)[/math] и [math]U_{k-1}(t_y, t_v)[/math] не пересекаются. Следовательно, [math]JPS[/math] подмножеств, которые реализуют [math]W_{k-1}(t_u, t_x, m_1), W_{k-1}(t_x, t_y, m_2)[/math] и [math]W_{k-1}(t_y, t_v, m_3)[/math], поставленные друг за другом дадут правильное расписание для [math]m-1[/math] работ взятых из [math]U_{k-1}(t_u, t_v)[/math]. Более того, у нас достаточно места чтобы вставить работу [math]J_k[/math] в промежуток между [math]t_x[/math] и [math]t_y[/math]. Это возможно, так как [math]p \cdot (m_2 + 1) = t_y - t_x[/math] и ровно [math]m_2[/math] работ распределено для [math]U_{k-1}(t_x, t_y)[/math]. Таким образом [math]W'_k \leqslant W_k(t_u, t_v, m)[/math]. Докажем неравенство [math]W_k(t_u, t_v, m) \leqslant \max(W_{k-1}(t_u, t_v, m), W'_k)[/math]. Положим [math]Z[/math] реализует [math] W_k(t_u, t_v, m)[/math]. [math]J_k \notin Z[/math]. Тогда [math]W_k(t_u, t_v, m) = W_{k-1}(t_u, t_v, m) \leqslant \max(W_{k-1}(t_u, t_v, m), W'_k)[/math]. [math]J_k \in Z[/math]. Положим [math]t_x[/math] и [math]t_y[/math] временем начала выполнения и завершения работы [math]J_k[/math] в [math]JPS[/math] от [math]Z[/math]. Благодаря предыдущей лемме, мы знаем, что [math]t_x, t_y \in \Theta[/math]. Также выполняется условие [math] \max(r_k, t_u) \leqslant t_x \lt t_y \leqslant \min(d_k, t_v).[/math] Пусть [math]Z_1, Z_2, Z_3[/math] будут подмножествами [math]Z/J_k[/math] такими, что все работы в [math]Z_1, Z_2[/math] и [math]Z_3[/math] имеют время появления [math]r_i[/math] в границах [math][t_u,t_x)[/math], [math][t_x, t_y)[/math] и [math][t_y,t_v)[/math] соответственно. По структуре [math]JPS[/math](работа [math]J_k[/math] имеет максимальный дедлайн [math]d_k[/math]) все работы в [math]Z_1[/math] завершаться до [math]t_x[/math]. Более того, все работы в [math]Z_2[/math] начнут выполняться после [math]t_x[/math] и завершаться до [math]t_y[/math], аналогично для [math]Z_3[/math]. Также [math]p \cdot (|Z_2| + 1) = t_y - t_x,[/math] так как [math]J_k[/math] выполнялась в промежутке [math][t_x, t_y).[/math] При этом, [math]|Z_1| + |Z_2| + |Z_3| = m - 1.[/math] Можно заметить, что [math]weight(Z_1) \leqslant W_{k-1}(t_u, t_x, |Z_1|), weight(Z_2) \leqslant W_{k-2}(t_x, t_y, |Z_2|)[/math] и [math]weight(Z_3) \leqslant W_{k-1}(t_y, t_v, |Z_3|).[/math] Следовательно, [math]W_k(t_u, t_v, m) = w_k + \sum\limits_{i = 1}^3weight(Z_i) \leqslant W'_k \leqslant \max(W_{k-1}(t_u, t_v, m), W'_k).[/math] Исходя из двух неравенств доказанных выше, можно получить требуемое равенство [math]W_k(t_u, t_v, m) = \max(W_{k-1}(t_u, t_v, m), W'_k).[/math] Лемма доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Псевдокод

   Отсортировать работы по [math]d_i[/math]
   [math]fill(W, -\infty)[/math]
   
   foreach [math]t_u, t_v \in \Theta \mid t_u \leqslant t_v[/math]
       if [math]p \leqslant (\min(d_1,t_v)-\max(r_1,t_u))[/math]
           [math]W_1(t_u, t_v, 1) = w_1[/math]
   
   for [math]k = 2[/math] to [math]n[/math]
       for [math]m = 1[/math] to [math]n[/math]
           foreach [math]t_u, t_v \in \Theta \mid t_u \leqslant t_v[/math]
               if [math]r_k \not\in [t_u, t_v)[/math]
                  [math]W_k (t_u, t_v, m) \leftarrow W_{k - 1} (t_u, t_v, m)[/math]
               else
                  [math]W'_k \leftarrow [/math] Подсчитать [math]W'_k[/math] по формуле из леммы
                  [math]W_k (t_u, t_v, m) \leftarrow \max(W_{k - 1} (t_u, t_v, m), W'_k\})[/math]
   
   return [math]\max\limits_{i \in [1, \dots, n]}(W_n(\min\limits_{t \in \Theta} (t - p), \max\limits_{t \in \Theta} (t), i))[/math]

Оценка алгоритма

Заметим, что множество [math]\Theta[/math] содержит не более [math]n^2[/math] элементов. Следовательно, цикл по [math]t_u, t_v[/math] итерируется [math]O(n^4)[/math] раз. Внутри этого цикла мы тратим [math]O(n^4)[/math] времени на подсчет [math]W'_k[/math], так как зная [math]t_x, m_1[/math] и [math]m_2[/math] мы можем посчитать [math]t_y[/math] и [math]m_3[/math]. Также алгоритм использует шестимерный массив для хранения [math]W_k (t_u, t_v, m)[/math]. Таким образом, учитывая итерации алгоритма по [math]k[/math] и [math]m[/math], нам потребуется [math]O(n^{10})[/math] времени и [math]O(n^6)[/math] памяти для работы алгоритма.

См. также

• P1sumu
• 1pi1sumwu
• 1ripipsumwu

Источники информации

Philippe Baptiste - Polynomial Time Algorithms for Minimizing the Weighted Number of Late Jobs on a Single Machine with Equal Processing Times