Алгоритм Кока-Янгера-Касами, модификация для произвольной грамматики

Задача:

Пусть дана контекстно-свободная грамматика [math]\Gamma[/math] и слово [math]w \in \Sigma^{*}[/math]. Требуется выяснить, выводится ли это слово в данной грамматике.

Базовая версия данного алгоритма работает только для грамматик в нормальной форме Хомского. Модифицируем алгоритм для работы на произвольных контекстно-свободных грамматиках. Модификация алгоритма сильно проще в написании, чем приведение к нормальной форме Хомского, поэтому часто используют её, не смотря на то, что время работы у нее больше.

Алгоритм для произвольной грамматики

Будем решать задачу динамическим программированием. Введём динамику [math]a\left[A,i,j\right] = \left[A \Rightarrow^{*} w[i..j-1]\right][/math], аналогично базовой версии алгоритма.

Также введём вспомогательный четырехмерный массив [math]h\left[A \rightarrow \alpha, i, j, k\right] = true[/math] тогда и только тогда, когда из префикса длины [math]k[/math] правой части данного правила можно вывести [math]w\left[i..j-1\right][/math].

Рассмотрим все тройки [math]\lbrace \langle j, i \rangle \mid j-i=m \rbrace[/math], где [math]m[/math] — константа и [math]m \lt n[/math], и [math]k[/math] такое, что [math]k \lt \left|\alpha\right|[/math].

• База динамики:

[math]a\left[A, i, i+1\right] = true[/math], если в грамматике [math]\Gamma[/math] присутствует правило [math]A \rightarrow w[i][/math], иначе [math]a\left[A, i, i+1\right] = false[/math];

[math]a\left[A, i, i\right] = true[/math], если в грамматике [math]\Gamma[/math] присутствует правило [math]A \rightarrow \varepsilon[/math], иначе [math]a\left[A, i, i\right] = false[/math];

[math]h\left[A \rightarrow \alpha, i, i, 0\right] = true[/math].

• Переход:

Пусть значения для всех нетерминалов, пар [math]\lbrace \langle j', i' \rangle \mid j' - i' \lt m \rbrace[/math] и [math]\lbrace k' \mid k' \lt k \rbrace[/math] уже вычислены, поэтому вспомогательная динамика: [math] h\left[A \rightarrow \alpha, i, j+1, k\right] = \bigvee\limits_{r=i..j+1}\left(h\left[A \rightarrow \alpha, i, r, k-1\right] \wedge a\left[\alpha\left[k\right],r,j+1\right]\right)[/math]. То есть, подстроку [math]w[i..j][/math] можно вывести из префикса длины [math]k[/math] правой части данного правила, если из префикса длины [math]k-1[/math] правой части данного правила можно вывести [math]w\left[i..r-1\right][/math], а подстрока [math]w[r..j][/math] выводится из [math]k[/math]-го символа правой части правила. Это вычисление может обратится к [math]a\left[A,i,j+1\right][/math], но на результат это не повлияет, так как в данный момент [math]a\left[A,i,j+1\right]=false[/math].

Но если [math]\alpha\left[k\right][/math] — терминал, то подстроку [math]w[i..j][/math] можно вывести из префикса длины [math]k[/math] правой части данного правила, если из префикса длины [math]k-1[/math] правой части данного правила можно вывести [math]w\left[i..r-1\right][/math], а подстрока [math]w[r..j][/math] выводится, если [math]w\left[r..j\right]=\alpha\left[k\right][/math].

Базовая динамика выражается так: [math]a\left[A,i,j\right]=\bigvee\limits_{A \rightarrow \alpha}h\left[A \rightarrow \alpha, i, j, \left|\alpha\right|\right][/math]. То есть, подстроку [math]w[i..j-1][/math] можно вывести из нетерминала [math]A[/math], если из длины правой части данного правила можно вывести [math]w\left[i..j-1\right][/math],

• Завершение:

После окончания работы ответ содержится в ячейке [math]a\left[S, 1, n\right][/math], где [math]n = |w|[/math].

Псевдокод

     for i = 1..n
      for Rj -> alpha
       if( A -> w[i] in Г) a[A, i, i+1] = true
       else a[A, i, i+1] = false
       if( A -> eps in Г) a[A, i, i] = true
       else a[A, i, i] = false
       h[A->alpha, i, i, 0] = true
     for i = 1..n
      for j = 1..n
       for k = 1..M
        for Rj -> alpha
         h[A->alpha, i, j+1, k] = V( for r = i..j+1) h[A->alpha, i, r, k-1] ^ a[alpha[k],r,j+1]       
     for i = 1..n
       for j = 1..n
         for Rj -> alpha
          a[A,i,j]=V(for A->alpha) h[A->alpha, i, j, |alpha|]
     return a[S, 1, n]     

Оценка сложности

Обозначим [math]M = \max\limits_{A \rightarrow \alpha}\left|\alpha\right|[/math] — максимальную длину правой части правила.

Обработки правил вида [math]A \rightarrow w[i][/math], [math]A \rightarrow \varepsilon[/math] и нахождение [math]h\left[A \rightarrow \alpha, i, i, 0\right][/math] выполняются за [math]O(n \cdot |\Gamma|)[/math].

Время одного перехода вспомогательной динамики [math]O(n)[/math], суммарное количество состояний [math]O(n^2 \cdot |\Gamma| \cdot M)[/math]. Отсюда расчёт вспомогательной динамики занимает [math]O \left( n^3 \cdot |\Gamma| \cdot M \right)[/math] времени, базовая динамика находится, как [math]O \left( n^2 \cdot |\Gamma| \right)[/math]. Итоговая временная сложность алгоритма равна [math]O \left( n^3 \cdot |\Gamma| \cdot M \right)[/math]. Алгоритму требуется [math]O(n^2 \cdot |\Gamma| \cdot M)[/math] памяти.

См. также

• Алгоритм Кока-Янгера-Касами разбора грамматики в НФХ
• Алгоритм Эрли