Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта

Алгоритм Кнута — Морриса — Пратта (англ. Knuth–Morris–Pratt algorithm) — алгоритм поиска подстроки в строке.

Описание алгоритма

Дана цепочка [math]T[/math] и образец [math]P[/math]. Требуется найти все позиции, начиная с которых [math]P[/math] входит в [math]T[/math].
Построим строку [math]S = P\#T[/math], где [math]\#[/math] — любой символ, не входящий в алфавит [math]P[/math] и [math]T[/math]. Посчитаем на ней значение префикс-функции [math] p [/math]. Благодаря разделительному символу [math]\#[/math], выполняется [math]\forall i: p[i] \leqslant |P|[/math]. Заметим, что по определению префикс-функции при [math]i \gt |P|[/math] и [math]p[i] = |P|[/math] подстроки длины [math]P[/math], начинающиеся с позиций [math]0[/math] и [math]i - |P| + 1[/math], совпадают. Соберем все такие позиции [math]i - |P| + 1[/math] строки [math]S[/math], вычтем из каждой позиции [math]|P| + 1[/math], это и будет ответ. Другими словами, если в какой-то позиции [math]i[/math] выполняется условие [math]p[i]=|P|[/math], то в этой позиции начинается очередное вхождение образца в цепочку.

Псевдокод

int[] kmp(string P, string T):
   int pl = P.length
   int tl = T.length
   int[] answer
   int[] p = prefixFunction(P + "#" + T)
   int count = 0
   for i = 0 .. tl - 1
      if p[pl + i + 1] == pl
         answer[count++] = i
   return answer

Время работы

Префикс-функция от строки [math]S[/math] строится за [math]O(S) = O(P + T)[/math]. Проход цикла по строке [math]S[/math] содержит [math]O(T)[/math] итераций. Итого, время работы алгоритма оценивается как [math]O(P + T)[/math].

Оценка по памяти

Предложенная реализация имеет оценку по памяти [math]O(P+T)[/math]. Оценки [math]O(P)[/math] можно добиться за счет отказа от запоминания значений префикс-функции для позиций в [math]S[/math], меньших [math]|P| + 1[/math] (то есть до начала цепочки [math]T[/math]). Это возможно, так как значение префикс функции не может превысить длину образца, благодаря разделительному символу [math]\#[/math].

Замечание

Вместо префикс-функции в алгоритме Кнута-Морриса-Пратта можно использовать Z-функцию. Оценки времени работы и памяти при этом не изменятся.

См. также

• Алгоритм Ахо-Корасик
• Алгоритм Бойера-Мура
• Алгоритм Колусси

Источники информации

• Wikipedia — Knuth–Morris–Pratt algorithm
• Википедия — Алгоритм Кнута — Морриса — Пратта
• Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн — Алгоритмы: построение и анализ / пер. с англ. — изд. 2-е — М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. — с.1036. — ISBN 978-5-8459-0857-5.