Мощность множества

Определения

Определение:

Если А и В — произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, то они равномощны: [math] |A| = |B| [/math]

Определение:

Множество называется конечным, если его элементы можно пересчитать, иначе оно называется бесконечным.

Определение:

Если [math] |A| = |\mathbb N| [/math], то A называется счетным множеством.

[math] A = \{a_1, a_2, \dots , a_n \dots \} [/math] — счетное множество.

Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.

Мощность Q

Утверждение:

Если А - бесконечное множество, то в нем содержится по меньшей мере одно счетное подмножество.

[math]\triangleright[/math]

[math] B \subset A [/math] [math] a_1 \in A \Rightarrow A \backslash \{ a_1 \} = A_1 [/math] — бесконечное множество. [math] a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \{ a_2 \} = A_2 [/math] — также бесконечное множество. Продолжаем этот процесс далее до бесконечности. Тогда мы получим [math] B = \{a_1, a_2, \dots , a_n \dots \} \subset A [/math] — счетное множество.

[math]\triangleleft[/math]

Если [math] \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} [/math] — совокупность попарно различных элементов, то это — счетное множество.

Для счетных множеств часто применяется следующий важный факт:

Утверждение:

Не более чем счетное объединение не более, чем счетных множеств, не более, чем счетно, то есть, другими словами: Если все [math] A_n [/math] — счетное/конечное множество, то [math]\ \ | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| [/math]

[math]\triangleright[/math]

Выпишем все элементы этих множеств в таблицу: [math]\ ||a^i_j||[/math], где [math]\ a^i_j \in A_i,\ i, j \in \mathbb N [/math] [math] \begin{pmatrix} a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 & \cdots \\ \\ a^2_1 & a^2_2 & a^2_3 & \cdots \\ \\ a^3_1 & a^3_2 & a^3_3 & \cdots \\ \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix} [/math] Будем нумеровать их по диагоналям: [math] \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ a^1_1 & a^2_1 & a^1_2 & a^3_1 & a^2_2 & a^1_3 & \cdots \end{pmatrix} [/math] Таким образом мы установили биекцию между [math]\mathbb N [/math] и [math]\ \bigcup\limits_n A_n [/math], то есть [math]\ \ | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| [/math] , что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

В частности, множество рациональных чисел [math] \mathbb Q [/math] — счетно.

Континуум

Определение:

Множество [math] I = [0, 1][/math] называется континуумом.

Утверждение:

[math] I [/math] — несчетное множество.

[math]\triangleright[/math]

Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков: Пусть [math] I = \{ x_1, x_2, ... , x_n, ... \} [/math] Разделим I на 3 части и назовем [math] \Delta_1 : x_1 \notin \Delta_1 [/math]. Такой отрезок всегда существует. Далее разобьем [math] \Delta_1 [/math] на 3 части. Назовем [math] \Delta_2 [/math] тот отрезок, который не содержит [math] x_2 [/math], и так далее.. В результате выстраивается система вложенных отрезков: [math] \{ \Delta_n : \Delta_{n+1} \subset \Delta_n, x_n \notin \Delta_n \} [/math] По свойству системы вложенных отрезков: [math] \exists d = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n [/math] [math] d \in I [/math]. Пусть теперь [math] d \in \{ x_i \} \Rightarrow d = x_{n_0} [/math]. По построению: [math] d = x_{n_0} \notin \Delta_{n_0} [/math], но [math] d \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \Rightarrow d \in \Delta_{n_0} [/math], противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Если [math] |A| = |I| [/math], то обычно говорят, что А обладает мощностью континиума:

Мощность R

Утверждение:

[math] |\mathbb R| = |I| [/math]

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим функцию [math] y = tg \, x, x \in ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) [/math] С ее помощью можно установить биекцию между множествами [math] \mathbb R [/math] и [math] ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) [/math]. Биекцию между множествами [math] (0, 1) [/math] и [math] ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) [/math] можно установить параллельным переносом и сжатием: [math] x \leftrightarrow (x \cdot \pi) - \frac {\pi}{2} [/math] Получили, что [math] |\mathbb R| = | ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) | = | (0, 1) | [/math]. Осталось доказать, что [math] |(0, 1)| = |[0, 1]| [/math]. Применим следующий прием: Пусть [math] a_1, a_2, ... , a_n, ... \in (0, 1) [/math] - попарно различны. Множество [math] A = \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} [/math] - счетное. Определим множество [math] B = A \cup \{ 0, 1 \} [/math]. Множество [math] B [/math] также счетное. Между счетными множествами можно установить биекцию: [math] B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A \leftrightarrow [0, 1] \backslash B \Rightarrow (0, 1) \leftrightarrow [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| [/math] В итоге получили, что [math] |\mathbb R| = |[0, 1]| [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Так как [math] \mathbb Q [/math] — счетно. [math] |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow [/math] иррациональных чисел по мощности континииум.

Оладьи на кефире - бабушкин рецепт

Любите пышные оладьи на кефире? Бабушкин рецепт никогда не подведет! Оладьи на кефире классические по этому рецепту – любимый завтрак у многих из нас с самого раннего детства. Нежные, румяные, тающие во рту, политые медом, вареньем или сгущенкой… А может, смазанные сметаной или повидлом… Что может быть аппетитнее? Оладьи пышные очень легко и быстро готовятся. Но иногда мы забываем важные секреты приготовления оладий, поэтому я сейчас их напомню. Все продукты нужно доставать из холодильника заранее, чтоб они немного нагрелись. Холодное тесто не станет пышным. Чем кислее кефир, тем пышнее оладьи. Соду не гасим! Кефир сам справится с этой задачей. Муку просеиваем дважды: перед замесом и во время добавления ее в жидкую смесь. Насыпаем маленькими порциями, чтобы не было комков. После замешивания обязательно извлекаем из теста ложку или половник, емкость с тестом не трясем, даем настояться минут 15 или чуть больше. Перемешивать тесто больше нельзя. Жарить оладьи нужно на среднем огне под крышкой в хорошо разогретом масле. Можно готовить оладьи на кефире с яблоками и другими не слишком сочными фруктами, а также с добавлением овощей, сыра, творога или мяса.

Ингредиенты:

1.5 стакана муки

1 стакан кефира

2/3 стакана растительного масла

2 яичка

щепотка соли

3 ст.л сахара

0.5 ч.л. соды

Рецепт:

1) Яйца слегка взбиваем венчиком с сахаром. Вливаем кефир и перемешиваем. Слегка подогреваем смесь на огне, выключаем плиту.

2) Порциями добавляем просеянную муку, перемешиваем, добавляем соду и ложку растительного масла. Еще раз перемешаем. Консистенция должна быть, как у густой сметаны. Если не получилось, то нужно либо добавить теплой воды, либо муки. Через 10-15 минут начинаем выпекать оладьи.

3) На сковороде сильно нагреваем масло, выкладываем тесто ложкой, жарим с двух сторон по паре минут до румяной корочки. Попробуйте жарить пышные оладьи на кефире под крышкой, возможно, вам так больше понравится.

4) Приятного аппетита!