Вещественные числа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показана 21 промежуточная версия 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
Лекция от 13 сентября 2010.
+
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 +
 
 +
== Натуральные числа ==
  
<tex> \mathbb N </tex> - натуральные числа = {1, 2, 3, ...}
+
[[Множества|Множество]] натуральных чисел <tex> \mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots\}</tex> определяется следующим образом:
Определяются следующим образом:
 
  
За числом n в натуральном ряде непосредственно следует n + 1, между n и n + 1 других  
+
За числом <tex>n</tex> в натуральном ряде непосредственно следует <tex>n + 1</tex>, между <tex>n</tex> и <tex>n + 1</tex> других  
 
<tex> k \in \mathbb N </tex> ''нет''.
 
<tex> k \in \mathbb N </tex> ''нет''.
  
Гильберт: натуральные числа - первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом.
+
Гильберт:  
 +
 
 +
''Натуральные числа {{---}} первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом.''
 +
 
 +
== Целые числа ==
  
<tex> \mathbb Z = \{ 0 \} \cup \{ n, -n | n \in \mathbb N \} </tex> - множество целых чисел.
+
Множество целых чисел <tex> \mathbb Z = \{ 0 \} \cup \{ n, -n | n \in \mathbb N \} </tex>. Также <tex> \mathbb N \subset \mathbb Z </tex>
  
<tex> \mathbb N \subset \mathbb Z </tex>
+
== Рациональные числа ==
  
<tex> \mathbb Q </tex> - рациональные числа:
+
Множество рациональных чисел  <tex> \mathbb Q = \{\frac mn | m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N \} </tex>
<tex> \mathbb Q = \{\frac mn ; m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N \}; </tex>
 
  
Множество <tex> \mathbb Q </tex> ''упорядочено''.
+
Множество рациональных чисел ''упорядочено'', то есть всегда выполняется только один из трех случаев: <tex> r < q, r = q</tex> или <tex> r > q </tex>
  
Всегда выполняется только один из трех случаев: <tex> r < q, r = q, r > q </tex>
+
=== Модуль ===
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition= <tex> |x| = \begin{cases} x, & x > 0 \\  0, & x = 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} </tex>
 
|definition= <tex> |x| = \begin{cases} x, & x > 0 \\  0, & x = 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} </tex>
  - модуль или абсолютная величина числа x
+
  &mdash; модуль или абсолютная величина числа x
 
}}
 
}}
  
Свойства:
+
Свойства модуля:
 +
 
 +
#<tex>|ab| = |a||b|</tex>
 +
#<tex>|x + y| \le |x| + |y|</tex>
 +
#<tex>|x - a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r</tex>
  
<tex>
+
=== Аксиома Архимеда ===
1) |ab| = |a||b|; \\
 
2) |x + y| \le |x| + |y|; \\
 
3) |x - a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r;
 
</tex>
 
  
В <tex> \mathbb Q </tex> выполняется '''аксиома Архимеда''':
+
В множестве <tex> \mathbb Q </tex> выполняется '''аксиома Архимеда''':
  
<tex> 0 < r < q; \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\
+
<tex> 0 < r < q \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\
\exists n \in \mathbb N : q < n*r
+
\exists n \in \mathbb N : q < n \cdot r
 
</tex>
 
</tex>
  
Пусть A, B - два числовых множества.
+
== Дополнение множества рациональных чисел ==
 +
 
 +
Пусть <tex>A, B</tex> &mdash; два числовых множества.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition= Запись A < B означает, что <tex> \forall a \in A, b \in B \Rightarrow a < b </tex>
+
|definition= Запись <tex>A < B</tex> означает, что <tex> \forall a \in A, \forall b \in B \Rightarrow a < b </tex>.
 
}}
 
}}
  
Аналогично определяются записи типа <tex> A \le B </tex>, ...
+
Аналогично определяются записи типа <tex> A \le B </tex>, и т. д. и т. п.
  
Если <tex> B = \{b\}: A < B \Leftrightarrow A < b </tex>
+
Если <tex> B = \{b\}</tex>, то запись <tex> A < b </tex> означает, что <tex> A < B </tex>.
 +
 
 +
=== Неполнота числовой оси ===
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
|statement= Пусть А, B состоят из рациональных положительных чисел r, таких, что
+
|statement= Пусть
  
A = {рациональные положительные r: r^2 < 2};
+
<tex>
 +
A = \{ r \in \mathbb Q | r > 0, r^2 < 2\} \\
 +
B = \{ r \in \mathbb Q | r > 0, r^2 > 2\}
 +
</tex>
  
B = {рациональные положительные r: r^2 > 2};
+
Тогда <tex> \nexists d \in \mathbb Q : A \le d \le B </tex>
  
Тогда <tex> \exists d \in \mathbb Q : A \le d \le B </tex>
 
 
|proof=
 
|proof=
Допустим, что существует <tex> d \in \mathbb Q </tex>
+
Допустим, что такое <tex>d</tex> существует и <tex> d \in \mathbb Q </tex>. Тогда возможны три случая: <tex> d^2 < 2,\ d^2 = 2,\ d^2 > 2</tex>
  
<tex> d^2 < 2, d^2 = 2, d^2 > 2</tex>
+
Случай <tex> d^2=2 </tex> невозможен. Докажем это.
  
<tex> d^2=2</tex> - невозможно, доказывается через несократимость дроби <tex> d = \frac mn: </tex>
+
Предположим, что <tex> d^2=2;\ d\in \mathbb Q </tex>, Значит число <tex>d</tex> можно представить в виде несократимой дроби <tex> d = \frac mn</tex>.
  
<tex> m^2 = 2n^2, </tex>2 - простое, значит m делится без остатка на 2n
+
Тогда: <tex> d^2 = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2,\ </tex> 2 - простое, значит <tex>m</tex> делится на <tex>2</tex>
  
<tex> m = 2p, 4p^2 = 2n^2, n^2=2p^2; n\, \vdots \, 2</tex>, противоречие.
+
<tex> m = 2p,\, 4p^2 = 2n^2,\ n^2=2p^2;\, n\:\vdots\:2</tex>, противоречие.
  
2 случая: либо <tex> d^2 < 2 </tex>, либо <tex> d^2 > 2 </tex>.
+
Возможны два случая: либо <tex> d^2 < 2 </tex>, либо <tex> d^2 > 2 </tex>. Рассмотрим первый из них, второй доказывается аналогичным образом
  
 
1) Для всех рациональных <tex> \delta \in (0; 1): </tex>
 
1) Для всех рациональных <tex> \delta \in (0; 1): </tex>
  
<tex> (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 </tex>
+
<tex> (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 \\
 +
\delta^2 < \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 < d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta </tex>
  
<tex> \delta^2 < \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 < d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta </tex>
+
Заметим, что если <tex> \delta < \frac{2 - d^2}{2d+1}</tex>, то <tex>d^2 + (2d+1)\delta < 2  ,\,  d^2 < 2,\, 2 - d^2 > 0 \Rightarrow \delta > 0 </tex>
  
<tex> d^2 + (2d+1)\delta < 2 \Leftrightarrow \delta < \frac{2 - d^2}{2d+1}, d^2 < 2, 2 - d^2 > 0 </tex>
+
<tex> \delta_0 \in \mathbb Q; \delta_0 = \min{(\frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1})} \in (0; 1) </tex>;
  
<tex> \delta_0 \in \mathbb Q = min\{ \frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1} \} \in (0; 1) </tex>;
+
Для такого <tex> \delta_0: (d + \delta_0)^2 < 2 \Rightarrow (d + \delta_0) \in A </tex>
  
Для такого <tex> \delta_0: (d + \delta_0)^2 < 2 \Leftarrow (d + \delta_0) \in A </tex>
+
По предположению, <tex> A \le d \rightarrow d + \delta_0 \le d, \delta_0 \le 0 </tex>, противоречие.
  
<tex> A \le d. d + \delta_0 \le d, \delta_0 \le 0 </tex>, противоречие.
+
2) Пусть <tex> d^2 > 2 </tex>
 +
Для всех рациональных <tex> \delta \in (-1; 0): </tex>
 +
<tex> (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 > d^2 + 2d\delta + \delta</tex>
  
Для случая <tex> d^2 > 2 </tex> доказывается аналогично.
+
При <tex> \delta > \frac{2 - d^2}{2d + 1}, d^2 + 2d\delta + \delta > 2, d^2 > 2 </tex> , тогда <tex> 2 - d^2 < 0 \Rightarrow \delta < 0 </tex>
}}
+
 
 +
Рассмотрим <tex> \delta_0 \in \mathbb{Q}: \delta_0 = \max{(-\frac13, \frac{2 - d^2}{2d + 1})} \in (-1; 0) </tex>
 +
, тогда <tex> (d + \delta)^2 > 2 \Rightarrow d + \delta_0 \in B </tex>
 +
<tex> B \ge d \rightarrow d + \delta_0 \ge d \rightarrow \delta_0 \ge 0 </tex>, пришли к противоречию.
 +
}}  
  
Этим утверждением обнаруживается серьезный пробел в <tex> \mathbb Q </tex>.
+
Этим утверждением обнаруживается серьезный пробел во множестве рациональных чисел.
 
Для его ликвидации вводятся некоторые объекты. При таком пополнении должны выполняться:
 
Для его ликвидации вводятся некоторые объекты. При таком пополнении должны выполняться:
 
# 4 арифметических действия с сохранением законов арифметики.
 
# 4 арифметических действия с сохранением законов арифметики.
Строка 93: Строка 110:
 
# Выполнение аксиомы непрерывности:  
 
# Выполнение аксиомы непрерывности:  
  
Пусть А и В - 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и <tex> A \le B </tex>, то в пополненном множестве
+
Пусть <tex>A </tex> и <tex>B </tex> &mdash; 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и <tex> A \le B </tex>, то в пополненном множестве <tex> \exists d: A \le d \le B </tex>
<tex> \exists d: A \le d \le B </tex>
 
  
Получается множество, называемое множеством ''вещественных'' чисел - <tex> \mathbb R, \, \mathbb Q \subset \mathbb R </tex>
+
Получим множество, называемое множеством '''''вещественных''''' чисел {{---}} <tex> \mathbb R, \, \mathbb Q \subset \mathbb R </tex>.
  
 
Из разбора ясно, что мы стоим на аксиоматических позициях.
 
Из разбора ясно, что мы стоим на аксиоматических позициях.
Строка 102: Строка 118:
 
Для анализа важно то, что для <tex> \mathbb R </tex> выполняется аксиома непрерывности.
 
Для анализа важно то, что для <tex> \mathbb R </tex> выполняется аксиома непрерывности.
  
Несколько моделей <tex> \mathbb R </tex> :
+
Существует несколько [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B_%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0 моделей построения] <tex> \mathbb R </tex> :
# Модель Дедекинда
+
# [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Модель Дедекинда]
 
# Модель Вейерштрасса
 
# Модель Вейерштрасса
 
# Модель Кантора
 
# Модель Кантора
Строка 111: Строка 127:
 
В любом вещественном интервале <tex> (a, b) : (x: a < x < b) </tex> найдется рациональное число.
 
В любом вещественном интервале <tex> (a, b) : (x: a < x < b) </tex> найдется рациональное число.
  
Для нас этот важен тем, что он гарантирует единственность пополнения <tex> \mathbb Q </tex> для выполнения аксиомы непрерывности.
+
Для нас этот факт важен тем, что он гарантирует единственность пополнения <tex> \mathbb Q </tex> для выполнения аксиомы непрерывности.
  
Любое такое пополнение приводит к множествам, изоморфным друг другу.
+
Любое такое пополнение, независимо от модели, приводит к множествам, изоморфным друг другу.
 
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 

Текущая версия на 19:17, 4 сентября 2022


Натуральные числа

Множество натуральных чисел [math] \mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots\}[/math] определяется следующим образом:

За числом [math]n[/math] в натуральном ряде непосредственно следует [math]n + 1[/math], между [math]n[/math] и [math]n + 1[/math] других [math] k \in \mathbb N [/math] нет.

Гильберт:

Натуральные числа — первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом.

Целые числа

Множество целых чисел [math] \mathbb Z = \{ 0 \} \cup \{ n, -n | n \in \mathbb N \} [/math]. Также [math] \mathbb N \subset \mathbb Z [/math]

Рациональные числа

Множество рациональных чисел [math] \mathbb Q = \{\frac mn | m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N \} [/math]

Множество рациональных чисел упорядочено, то есть всегда выполняется только один из трех случаев: [math] r \lt q, r = q[/math] или [math] r \gt q [/math]

Модуль

Определение:
[math] |x| = \begin{cases} x, & x \gt 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x \lt 0 \end{cases} [/math] — модуль или абсолютная величина числа x


Свойства модуля:

  1. [math]|ab| = |a||b|[/math]
  2. [math]|x + y| \le |x| + |y|[/math]
  3. [math]|x - a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r[/math]

Аксиома Архимеда

В множестве [math] \mathbb Q [/math] выполняется аксиома Архимеда:

[math] 0 \lt r \lt q \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\ \exists n \in \mathbb N : q \lt n \cdot r [/math]

Дополнение множества рациональных чисел

Пусть [math]A, B[/math] — два числовых множества.


Определение:
Запись [math]A \lt B[/math] означает, что [math] \forall a \in A, \forall b \in B \Rightarrow a \lt b [/math].


Аналогично определяются записи типа [math] A \le B [/math], и т. д. и т. п.

Если [math] B = \{b\}[/math], то запись [math] A \lt b [/math] означает, что [math] A \lt B [/math].

Неполнота числовой оси

Утверждение:
Пусть

[math] A = \{ r \in \mathbb Q | r \gt 0, r^2 \lt 2\} \\ B = \{ r \in \mathbb Q | r \gt 0, r^2 \gt 2\} [/math]

Тогда [math] \nexists d \in \mathbb Q : A \le d \le B [/math]
[math]\triangleright[/math]

Допустим, что такое [math]d[/math] существует и [math] d \in \mathbb Q [/math]. Тогда возможны три случая: [math] d^2 \lt 2,\ d^2 = 2,\ d^2 \gt 2[/math]

Случай [math] d^2=2 [/math] невозможен. Докажем это.

Предположим, что [math] d^2=2;\ d\in \mathbb Q [/math], Значит число [math]d[/math] можно представить в виде несократимой дроби [math] d = \frac mn[/math].

Тогда: [math] d^2 = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2,\ [/math] 2 - простое, значит [math]m[/math] делится на [math]2[/math]

[math] m = 2p,\, 4p^2 = 2n^2,\ n^2=2p^2;\, n\:\vdots\:2[/math], противоречие.

Возможны два случая: либо [math] d^2 \lt 2 [/math], либо [math] d^2 \gt 2 [/math]. Рассмотрим первый из них, второй доказывается аналогичным образом

1) Для всех рациональных [math] \delta \in (0; 1): [/math]

[math] (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 \\ \delta^2 \lt \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 \lt d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta [/math]

Заметим, что если [math] \delta \lt \frac{2 - d^2}{2d+1}[/math], то [math]d^2 + (2d+1)\delta \lt 2 ,\, d^2 \lt 2,\, 2 - d^2 \gt 0 \Rightarrow \delta \gt 0 [/math]

[math] \delta_0 \in \mathbb Q; \delta_0 = \min{(\frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1})} \in (0; 1) [/math];

Для такого [math] \delta_0: (d + \delta_0)^2 \lt 2 \Rightarrow (d + \delta_0) \in A [/math]

По предположению, [math] A \le d \rightarrow d + \delta_0 \le d, \delta_0 \le 0 [/math], противоречие.

2) Пусть [math] d^2 \gt 2 [/math] Для всех рациональных [math] \delta \in (-1; 0): [/math] [math] (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 \gt d^2 + 2d\delta + \delta[/math]

При [math] \delta \gt \frac{2 - d^2}{2d + 1}, d^2 + 2d\delta + \delta \gt 2, d^2 \gt 2 [/math] , тогда [math] 2 - d^2 \lt 0 \Rightarrow \delta \lt 0 [/math]

Рассмотрим [math] \delta_0 \in \mathbb{Q}: \delta_0 = \max{(-\frac13, \frac{2 - d^2}{2d + 1})} \in (-1; 0) [/math] , тогда [math] (d + \delta)^2 \gt 2 \Rightarrow d + \delta_0 \in B [/math]

[math] B \ge d \rightarrow d + \delta_0 \ge d \rightarrow \delta_0 \ge 0 [/math], пришли к противоречию.
[math]\triangleleft[/math]

Этим утверждением обнаруживается серьезный пробел во множестве рациональных чисел. Для его ликвидации вводятся некоторые объекты. При таком пополнении должны выполняться:

  1. 4 арифметических действия с сохранением законов арифметики.
  2. Сохранение упорядоченности.
  3. Выполнение аксиомы непрерывности:

Пусть [math]A [/math] и [math]B [/math] — 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и [math] A \le B [/math], то в пополненном множестве [math] \exists d: A \le d \le B [/math]

Получим множество, называемое множеством вещественных чисел — [math] \mathbb R, \, \mathbb Q \subset \mathbb R [/math].

Из разбора ясно, что мы стоим на аксиоматических позициях.

Для анализа важно то, что для [math] \mathbb R [/math] выполняется аксиома непрерывности.

Существует несколько моделей построения [math] \mathbb R [/math] :

  1. Модель Дедекинда
  2. Модель Вейерштрасса
  3. Модель Кантора

Базируясь на аксиоме Архимеда и непрерывности, можно установить, что [math] \mathbb Q [/math] всюду плотно на [math] \mathbb R [/math]:

В любом вещественном интервале [math] (a, b) : (x: a \lt x \lt b) [/math] найдется рациональное число.

Для нас этот факт важен тем, что он гарантирует единственность пополнения [math] \mathbb Q [/math] для выполнения аксиомы непрерывности.

Любое такое пополнение, независимо от модели, приводит к множествам, изоморфным друг другу.