ДМП-автоматы и неоднознчность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 27 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
 +
==Теоремы==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Если L=N(P) для некоторого ДМП автомата P, то L имеет однозначную КС-грамматику
+
|id=t1
 +
|statement=Если <tex>L=N(S)</tex> для некоторого [[Детерминированные автоматы с магазинной памятью|ДМП-автомата]] <tex>S</tex>, то <tex>L</tex> имеет однозначную [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|КС-грамматику]]
 
|proof=
 
|proof=
 +
Утверждаем, что конструкция [[Совпадение множества языков МП-автоматов и контекстно-свободных языков#th2|теоремы]] порождает однозначную [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|КС-грамматику]] <tex>\Gamma</tex>, когда [[Автоматы с магазинной памятью|МП-автомат]], к которому она применяется, детерминирован. Вначале вспомним [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора#t2|теорему]], говорящую, что для однозначности грамматики <tex>\Gamma</tex> достаточно показать, что она имеет уникальные левые порождения.
 +
 +
Предположим, <tex>S</tex> допускает <tex>w</tex> по пустому магазину. Тогда он делает это с помощью одной-единственной последовательности переходов, поскольку он детерминирован и не может работать после опустошения магазина. Зная эту последовательность переходов, мы можем однозначно определить выбор каждой продукции в левом порождении <tex>w</tex> в <tex>\Gamma</tex>. Правило автомата <tex>S</tex>, на основании которого применяется продукция, всегда одно. Но правило, скажем, <tex>\delta(q, a, X) = \{(r, Y_1Y_2\dots Y_k)\}</tex>, может порождать много продукций грамматики <tex>\Gamma</tex>, с различными состояниями в позициях, отражающих состояния <tex>S</tex> после удаления каждого из <tex>Y_1</tex>, <tex>Y_2</tex>, <tex>\dots</tex>, <tex>Y_k</tex>. Однако, поскольку <tex>S</tex> детерминирован, осуществляется только одна из этих последовательностей переходов, поэтому только одна из этих продукций в действительности ведет к порождению <tex>w</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Если <tex>L=L(P)</tex> для некоторого ДМП-автомата <tex>P</tex>, то <tex>L</tex> имеет однозначную КС-грамматику
+
|id=t2
 +
|statement=Если <tex>L=L(S)</tex> для некоторого [[Детерминированные автоматы с магазинной памятью|ДМП-автомата]] <tex>S</tex>, то <tex>L</tex> имеет однозначную [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|КС-грамматику]]
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex>\$</tex> будет “концевым маркером”, отсутствующим в цепочках языка <tex>L</tex>, и пусть <tex>L′ = L\$</tex>. Таким образом, цепочки языка <tex>L′</tex> представляют собой цепочки из <tex>L</tex>, к которым дописан символ <tex>\$</tex>. Тогда <tex>L′</tex> имеет префиксное свойство, и по теореме 6.19 <tex>L′ = N(P′)</tex> для некоторого ДМП-автомата <tex>P′</tex>. По теореме 6.20 существует однозначная грамматика <tex>G′</tex>, порождающая язык <tex>N(P′)</tex>, т.е. <tex>L′</tex>.
+
Пусть <tex>\$</tex> будет “концевым маркером”, отсутствующим в цепочках языка <tex>L</tex>, и пусть <tex>L` = L\$</tex>. Таким образом, цепочки языка <tex>L`</tex> представляют собой цепочки из <tex>L</tex>, к которым дописан символ <tex>\$</tex>. Тогда <tex>L`</tex> имеет префиксное свойство, и <tex>L` = N(S`)</tex> для некоторого ДМП-автомата <tex>S`</tex>. По [[#t1|теореме]] существует однозначная грамматика <tex>\Gamma`</tex>, порождающая язык <tex>N(S`)</tex>, т.е. <tex>L`</tex>.
  
Теперь по грамматике <tex>G′</tex> построим <tex>G</tex>, для которой <tex>L(G) = L</tex>. Для этого нужно лишь избавиться от маркера <tex>\$</tex> в цепочках. Будем рассматривать <tex>\$</tex> как переменную грамматики <tex>G</tex> и введем продукцию <tex>\$ → ε</tex>; остальные продукции <tex>G</tex> и <tex>G′</tex> одинаковы. Поскольку <tex>L(G′) = L′</tex>, получаем, что <tex>L(G) = L</tex>.
+
Теперь по [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|грамматике]] <tex>\Gamma`</tex> построим <tex>\Gamma</tex>, для которой <tex>L(\Gamma) = L</tex>. Для этого нужно лишь избавиться от маркера <tex>\$</tex> в цепочках. Будем рассматривать <tex>\$</tex> как переменную грамматики <tex>\Gamma</tex> и введем продукцию <tex>\$ \rightarrow \epsilon</tex>; остальные продукции <tex>\Gamma</tex> и <tex>\Gamma`</tex> одинаковы. Поскольку <tex>L(\Gamma`) = L`</tex>, получаем, что <tex>L(\Gamma) = L</tex>.
  
Утверждаем, что <tex>G</tex> однозначна. Действительно, левые порождения в <tex>G</tex> совпадают с левыми порождениями в <tex>G′</tex>, за исключением последнего шага в <tex>G</tex> — изменения <tex>\$</tex> на <tex>ε</tex>. Таким образом, если бы терминальная цепочка <tex>w</tex> имела два левых порождения в <tex>G</tex>, то <tex>w\$</tex> имела бы два порождения в <tex>G′</tex>. Поскольку <tex>G′</tex> однозначна, <tex>G</tex> также однозначна.
+
Утверждаем, что <tex>\Gamma</tex> однозначна. Действительно, левые порождения в <tex>\Gamma</tex> совпадают с левыми порождениями в <tex>\Gamma`</tex>, за исключением последнего шага в <tex>\Gamma</tex> — изменения <tex>\$</tex> на <tex>\epsilon</tex>. Таким образом, если бы терминальная цепочка <tex>w</tex> имела два левых порождения в <tex>\Gamma</tex>, то <tex>w\$</tex> имела бы два порождения в <tex>\Gamma`</tex>. Поскольку <tex>\Gamma`</tex> однозначна, <tex>\Gamma</tex> также однозначна.
 
}}
 
}}
 +
 +
==См. также==
 +
* [[Детерминированные автоматы с магазинной памятью, допуск по пустому стеку]]
 +
* [[Несовпадение класса языков, распознаваемых ДМП автоматами и произвольными МП автоматами]]
 +
* [[Существенно неоднозначные языки]]
 +
* [[Формальные грамматики]]
 +
 +
==Источники информации==
 +
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' {{---}} '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2008. — 528 с. : ISBN 978-5-8459-1347-0 (рус.)
 +
[[Категория: Теория формальных языков]]
 +
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]

Текущая версия на 19:56, 6 января 2015

Эта статья находится в разработке!

Теоремы[править]

Теорема:
Если [math]L=N(S)[/math] для некоторого ДМП-автомата [math]S[/math], то [math]L[/math] имеет однозначную КС-грамматику
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Утверждаем, что конструкция теоремы порождает однозначную КС-грамматику [math]\Gamma[/math], когда МП-автомат, к которому она применяется, детерминирован. Вначале вспомним теорему, говорящую, что для однозначности грамматики [math]\Gamma[/math] достаточно показать, что она имеет уникальные левые порождения.

Предположим, [math]S[/math] допускает [math]w[/math] по пустому магазину. Тогда он делает это с помощью одной-единственной последовательности переходов, поскольку он детерминирован и не может работать после опустошения магазина. Зная эту последовательность переходов, мы можем однозначно определить выбор каждой продукции в левом порождении [math]w[/math] в [math]\Gamma[/math]. Правило автомата [math]S[/math], на основании которого применяется продукция, всегда одно. Но правило, скажем, [math]\delta(q, a, X) = \{(r, Y_1Y_2\dots Y_k)\}[/math], может порождать много продукций грамматики [math]\Gamma[/math], с различными состояниями в позициях, отражающих состояния [math]S[/math] после удаления каждого из [math]Y_1[/math], [math]Y_2[/math], [math]\dots[/math], [math]Y_k[/math]. Однако, поскольку [math]S[/math] детерминирован, осуществляется только одна из этих последовательностей переходов, поэтому только одна из этих продукций в действительности ведет к порождению [math]w[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Если [math]L=L(S)[/math] для некоторого ДМП-автомата [math]S[/math], то [math]L[/math] имеет однозначную КС-грамматику
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\$[/math] будет “концевым маркером”, отсутствующим в цепочках языка [math]L[/math], и пусть [math]L` = L\$[/math]. Таким образом, цепочки языка [math]L`[/math] представляют собой цепочки из [math]L[/math], к которым дописан символ [math]\$[/math]. Тогда [math]L`[/math] имеет префиксное свойство, и [math]L` = N(S`)[/math] для некоторого ДМП-автомата [math]S`[/math]. По теореме существует однозначная грамматика [math]\Gamma`[/math], порождающая язык [math]N(S`)[/math], т.е. [math]L`[/math].

Теперь по грамматике [math]\Gamma`[/math] построим [math]\Gamma[/math], для которой [math]L(\Gamma) = L[/math]. Для этого нужно лишь избавиться от маркера [math]\$[/math] в цепочках. Будем рассматривать [math]\$[/math] как переменную грамматики [math]\Gamma[/math] и введем продукцию [math]\$ \rightarrow \epsilon[/math]; остальные продукции [math]\Gamma[/math] и [math]\Gamma`[/math] одинаковы. Поскольку [math]L(\Gamma`) = L`[/math], получаем, что [math]L(\Gamma) = L[/math].

Утверждаем, что [math]\Gamma[/math] однозначна. Действительно, левые порождения в [math]\Gamma[/math] совпадают с левыми порождениями в [math]\Gamma`[/math], за исключением последнего шага в [math]\Gamma[/math] — изменения [math]\$[/math] на [math]\epsilon[/math]. Таким образом, если бы терминальная цепочка [math]w[/math] имела два левых порождения в [math]\Gamma[/math], то [math]w\$[/math] имела бы два порождения в [math]\Gamma`[/math]. Поскольку [math]\Gamma`[/math] однозначна, [math]\Gamma[/math] также однозначна.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2008. — 528 с. : ISBN 978-5-8459-1347-0 (рус.)