Метод Лупанова синтеза схем — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(начал викифицировать)
(сделал тире по шаблону)
Строка 10: Строка 10:
  
 
Для удобства дальнейших рассуждений представим булеву функцию в виде таблицы, изображённой на рис. 1.
 
Для удобства дальнейших рассуждений представим булеву функцию в виде таблицы, изображённой на рис. 1.
* '''По горизонтали''' на ней представлены все значения <tex>f(\sigma_1, \sigma_2, ..., \sigma_k, x_{k + 1}, x_{k + 2}, ..., x_n)</tex> (здесь и далее <tex>\sigma</tex> - фиксированное значение, <tex>x</tex> - переменное);
+
* '''По горизонтали''' на ней представлены все значения <tex>f(\sigma_1, \sigma_2, ..., \sigma_k, x_{k + 1}, x_{k + 2}, ..., x_n)</tex> (здесь и далее <tex>\sigma</tex> {{---}} фиксированное значение, <tex>x</tex> {{---}} переменное);
 
* '''По вертикали''' на ней представлены все значения <tex>f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_n)</tex>.
 
* '''По вертикали''' на ней представлены все значения <tex>f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_n)</tex>.
 
Таким образом, легко заметить, что значение <tex>f(x_1, x_2, ..., x_n)</tex> находится на пересечении строки <tex>x_1, x_2, ..., x_k</tex> и столбца <tex>x_{k + 1}, x_{k + 2}, ..., x_n</tex>.
 
Таким образом, легко заметить, что значение <tex>f(x_1, x_2, ..., x_n)</tex> находится на пересечении строки <tex>x_1, x_2, ..., x_k</tex> и столбца <tex>x_{k + 1}, x_{k + 2}, ..., x_n</tex>.
Строка 20: Строка 20:
 
{{
 
{{
 
Определение|definition=
 
Определение|definition=
'''Сорт''' столбца полосы - [[Отношение эквивалентности#Классы эквивалентности | класс эквивалентности]], к которому столбец принадлежит (два столбца эквивалентны, если совпадают по значениям).
+
'''Сорт''' столбца полосы {{---}} [[Отношение эквивалентности#Классы эквивалентности | класс эквивалентности]], к которому столбец принадлежит (два столбца эквивалентны, если совпадают по значениям).
 
}}
 
}}
 
Число сортов столбцов <tex>i</tex>-й полосы обозначим как <tex>t(i)</tex>. Понятно, что для любой полосы <tex>t(i) \leq 2^s</tex> (для последней <tex>t(i) \leq 2^{s'}</tex>).
 
Число сортов столбцов <tex>i</tex>-й полосы обозначим как <tex>t(i)</tex>. Понятно, что для любой полосы <tex>t(i) \leq 2^s</tex> (для последней <tex>t(i) \leq 2^{s'}</tex>).
Строка 27: Строка 27:
 
[[Файл:Lupanov_fig2.png|330px|thumb|right|Рис. 2. Значения, возвращаемые функцией <tex>g_{ij}</tex>]]
 
[[Файл:Lupanov_fig2.png|330px|thumb|right|Рис. 2. Значения, возвращаемые функцией <tex>g_{ij}</tex>]]
 
Пусть для некоторого <tex>i</tex>
 
Пусть для некоторого <tex>i</tex>
* <tex>\beta_{j}</tex> - столбец <tex>i</tex>-й полосы <tex>j</tex>-го сорта;
+
* <tex>\beta_{j}</tex> {{---}} столбец <tex>i</tex>-й полосы <tex>j</tex>-го сорта;
* <tex>(\sigma_1^l, \sigma_2^l, ..., \sigma_k^l)</tex> - аргументы функции, соответствующие её значениям в <tex>l</tex>-й строке <tex>i</tex>-й полосы.
+
* <tex>(\sigma_1^l, \sigma_2^l, ..., \sigma_k^l)</tex> {{---}} аргументы функции, соответствующие её значениям в <tex>l</tex>-й строке <tex>i</tex>-й полосы.
 
Тогда введём булеву функцию
 
Тогда введём булеву функцию
  
Строка 40: Строка 40:
 
Поскольку изначальный столбец <tex>(\sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_{n})</tex> складывается из столбцов соответствующих сортов в полосах,
 
Поскольку изначальный столбец <tex>(\sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_{n})</tex> складывается из столбцов соответствующих сортов в полосах,
 
<tex>f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_{n}) = \bigvee\limits_{i = 1}^p g_{ij_i}(x_1, x_2, ..., x_k)</tex>,
 
<tex>f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_{n}) = \bigvee\limits_{i = 1}^p g_{ij_i}(x_1, x_2, ..., x_k)</tex>,
где <tex>j_i</tex> - номер сорта столбца полосы <tex>i</tex>, являющегося соответствующей частью столбца <tex>(\sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_{n})</tex>.
+
где <tex>j_i</tex> {{---}} номер сорта столбца полосы <tex>i</tex>, являющегося соответствующей частью столбца <tex>(\sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_{n})</tex>.
  
 
== Мультиплексор и дешифратор ==
 
== Мультиплексор и дешифратор ==
Строка 46: Строка 46:
 
{{
 
{{
 
Определение|definition=
 
Определение|definition=
'''Мультиплексор''' - логический элемент, получающий на вход
+
'''Мультиплексор''' {{---}} логический элемент, получающий на вход
 
* <tex>2^n</tex> булевых значений;
 
* <tex>2^n</tex> булевых значений;
 
* <tex>n</tex>-значное число <tex>x</tex> в двоичном представлении
 
* <tex>n</tex>-значное число <tex>x</tex> в двоичном представлении
Строка 52: Строка 52:
 
}}{{
 
}}{{
 
Определение|definition=
 
Определение|definition=
'''Дешифратор''' - логический элемент, получающий на вход
+
'''Дешифратор''' {{---}} логический элемент, получающий на вход
 
* булево значение <tex>z</tex>;
 
* булево значение <tex>z</tex>;
 
* <tex>n</tex>-значное число <tex>x</tex> в двоичном представлении
 
* <tex>n</tex>-значное число <tex>x</tex> в двоичном представлении
Строка 65: Строка 65:
 
[[Файл:Lupanov_scheme.png|400px|thumb|right|Иллюстрация частного случая представления Лупанова, описанного здесь]]  
 
[[Файл:Lupanov_scheme.png|400px|thumb|right|Иллюстрация частного случая представления Лупанова, описанного здесь]]  
 
В качестве доказательства ниже будет предложен вариант такой схемы для произвольной функции <tex>f(x_1, x_2, ..., x_n)</tex> (представление Лупанова). Для удобства поделим схему на блоки:
 
В качестве доказательства ниже будет предложен вариант такой схемы для произвольной функции <tex>f(x_1, x_2, ..., x_n)</tex> (представление Лупанова). Для удобства поделим схему на блоки:
* '''Блок A''' - дешифратор, которому на вход подали 1 и <tex>(x_1, x_2, ..., x_k)</tex> в качестве двоичного представления числа.
+
* '''Блок A''' {{---}} дешифратор, которому на вход подали 1 и <tex>(x_1, x_2, ..., x_k)</tex> в качестве двоичного представления числа.
  
 
Число элементов <tex>L_A \sim 2^k</tex>
 
Число элементов <tex>L_A \sim 2^k</tex>
* '''Блок B''' - схемная реализация всех <tex>g_{ij}</tex>. Функцию <tex>g_{ij}</tex> можно реализовать как <tex>\bigvee\limits_{\beta_l = 1} y_{il}</tex>, где <tex>y_{il}</tex> - выдал ли дешифратор "1" на <tex>l</tex>-м выходе <tex>i</tex>-й полосы.
+
* '''Блок B''' {{---}} схемная реализация всех <tex>g_{ij}</tex>. Функцию <tex>g_{ij}</tex> можно реализовать как <tex>\bigvee\limits_{\beta_l = 1} y_{il}</tex>, где <tex>y_{il}</tex> {{---}} выдал ли дешифратор "1" на <tex>l</tex>-м выходе <tex>i</tex>-й полосы.
  
 
Число элементов <tex>L_B \leq (s - 1) \cdot (t(1) + t(2) + ... + t(p)) < sp \cdot 2^{s}</tex>
 
Число элементов <tex>L_B \leq (s - 1) \cdot (t(1) + t(2) + ... + t(p)) < sp \cdot 2^{s}</tex>
* '''Блок C''' - схемная реализация всех <tex>f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_n)</tex>.
+
* '''Блок C''' {{---}} схемная реализация всех <tex>f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_n)</tex>.
  
 
Число элементов <tex>L_C \sim p \cdot 2^{n - k} = \frac{2^n}{s}</tex>
 
Число элементов <tex>L_C \sim p \cdot 2^{n - k} = \frac{2^n}{s}</tex>
* '''Блок D''' - мультиплексор, получающий на вход все <tex>f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_n)</tex> и параметры функции <tex>x_{k + 1}, x_{k + 2}, ..., x_n</tex> в качестве двоичного представления числа.  
+
* '''Блок D''' {{---}} мультиплексор, получающий на вход все <tex>f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_n)</tex> и параметры функции <tex>x_{k + 1}, x_{k + 2}, ..., x_n</tex> в качестве двоичного представления числа.  
  
 
Число элементов <tex>L_D \sim 2^{n - k}</tex>
 
Число элементов <tex>L_D \sim 2^{n - k}</tex>
  
'''''Результат работы схемы''''' - вывод мультиплексора.
+
'''''Результат работы схемы''''' {{---}} вывод мультиплексора.
  
 
Положим <tex>s = [n - 2\log_2 n]</tex>; <tex>k = [\log_2 n]</tex>. Тогда
 
Положим <tex>s = [n - 2\log_2 n]</tex>; <tex>k = [\log_2 n]</tex>. Тогда
Строка 88: Строка 88:
 
Итого, имеем схему с итоговым числом элементов <tex>\sim \frac{2^n}{n}</tex>, откуда следует, что <tex>size_B (f) \lesssim \frac{2^n}{n}</tex>, '''ч.т.д.'''
 
Итого, имеем схему с итоговым числом элементов <tex>\sim \frac{2^n}{n}</tex>, откуда следует, что <tex>size_B (f) \lesssim \frac{2^n}{n}</tex>, '''ч.т.д.'''
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplexer Wikipedia - Multiplexer]
+
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplexer Wikipedia {{---}} Multiplexer]
 
== Литература ==
 
== Литература ==
* Яблонский С.В. Введение в дискретную математику, изд. Наука, 1986, стр. 361 - более обобщённое доказательство, частично взятое за основу.
+
* Яблонский С.В. Введение в дискретную математику, изд. Наука, 1986, стр. 361 {{---}} более обобщённое доказательство, частично взятое за основу.

Версия 21:14, 26 сентября 2013

Формулировка

Теорема:
Любая булева функция от [math]n[/math] аргументов [math]f(x_1, x_2, ..., x_n)[/math] при базисе [math]B = \{\neg, \lor, \land\}[/math] имеет схемную сложность [math]size_B (f) \lesssim \frac{2^n}{n}[/math].

Представление функции

Рис. 1. Описываемая таблица истинности, разделённая на полосы

Для начала поделим аргументы функции на два блока: первые [math]k[/math] и оставшиеся [math](n - k)[/math].

Для удобства дальнейших рассуждений представим булеву функцию в виде таблицы, изображённой на рис. 1.

  • По горизонтали на ней представлены все значения [math]f(\sigma_1, \sigma_2, ..., \sigma_k, x_{k + 1}, x_{k + 2}, ..., x_n)[/math] (здесь и далее [math]\sigma[/math] — фиксированное значение, [math]x[/math] — переменное);
  • По вертикали на ней представлены все значения [math]f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_n)[/math].

Таким образом, легко заметить, что значение [math]f(x_1, x_2, ..., x_n)[/math] находится на пересечении строки [math]x_1, x_2, ..., x_k[/math] и столбца [math]x_{k + 1}, x_{k + 2}, ..., x_n[/math].

Разделение на полосы

Разделим таблицу на горизонтальные полосы шириной [math]s[/math] (последняя полоса, возможно, будет короче остальных; её длину обозначим [math]s'[/math]). Пронумеруем полосы сверху вниз от 1 до [math]p=\lceil\frac{2^k}{s}\rceil[/math].

Рассмотрим независимо некоторую полосу. Среди её столбцов при небольшом [math]s[/math] будет много повторений, поэтому введём понятие сорта столбца.

Определение:
Сорт столбца полосы — класс эквивалентности, к которому столбец принадлежит (два столбца эквивалентны, если совпадают по значениям).

Число сортов столбцов [math]i[/math]-й полосы обозначим как [math]t(i)[/math]. Понятно, что для любой полосы [math]t(i) \leq 2^s[/math] (для последней [math]t(i) \leq 2^{s'}[/math]).

Функция для одной полосы

Рис. 2. Значения, возвращаемые функцией [math]g_{ij}[/math]

Пусть для некоторого [math]i[/math]

  • [math]\beta_{j}[/math] — столбец [math]i[/math]-й полосы [math]j[/math]-го сорта;
  • [math](\sigma_1^l, \sigma_2^l, ..., \sigma_k^l)[/math] — аргументы функции, соответствующие её значениям в [math]l[/math]-й строке [math]i[/math]-й полосы.

Тогда введём булеву функцию

[math]g_{ij}(x_1, x_2, ..., x_k) = \begin{cases} \beta_{jl}& , \mbox{if } \exists l \in [1; s]~(x_1, x_2, ..., x_k) = (\sigma_1^l, \sigma_2^l, ..., \sigma_k^l) \\ 0&, \mbox{else} \end{cases}[/math]

Другими словами, если строка, соответствующая аргументам функции [math]x_1, x_2, ..., x_k[/math], находится в [math]i[/math]-й полосе, то функция возвращает значение, записанное в столбце сорта [math]j[/math] для этой строки. Если же эта строка находится в другой полосе, то функция вернёт 0. Иллюстрация принципа работы функции [math]g_{ij}[/math] приведена на рис. 2.

Вывод исходной функции для фиксированной части параметров

Поскольку изначальный столбец [math](\sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_{n})[/math] складывается из столбцов соответствующих сортов в полосах, [math]f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_{n}) = \bigvee\limits_{i = 1}^p g_{ij_i}(x_1, x_2, ..., x_k)[/math], где [math]j_i[/math] — номер сорта столбца полосы [math]i[/math], являющегося соответствующей частью столбца [math](\sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_{n})[/math].

Мультиплексор и дешифратор

Для упрощения доказательства теоремы введём элементы мультиплексор и дешифратор.

Определение:
Мультиплексор — логический элемент, получающий на вход
  • [math]2^n[/math] булевых значений;
  • [math]n[/math]-значное число [math]x[/math] в двоичном представлении
и возвращающий значение на [math]x[/math]-м входе.
Определение:
Дешифратор — логический элемент, получающий на вход
  • булево значение [math]z[/math];
  • [math]n[/math]-значное число [math]x[/math] в двоичном представлении
и выводящий [math]z[/math] на [math]x[/math]-й из своих [math]2^n[/math] выходов. На все остальные выходы элемент выдаёт 0.
Рис. 3. Мультиплексор слева, дешифратор справа

Иллюстрации элементов приведены на рис. 3.

Можно доказать, что оба элемента представимы схемами с числом элементов [math]\sim 2^n[/math] с помощью базиса [math]B[/math].

Доказательство

Иллюстрация частного случая представления Лупанова, описанного здесь

В качестве доказательства ниже будет предложен вариант такой схемы для произвольной функции [math]f(x_1, x_2, ..., x_n)[/math] (представление Лупанова). Для удобства поделим схему на блоки:

  • Блок A — дешифратор, которому на вход подали 1 и [math](x_1, x_2, ..., x_k)[/math] в качестве двоичного представления числа.

Число элементов [math]L_A \sim 2^k[/math]

  • Блок B — схемная реализация всех [math]g_{ij}[/math]. Функцию [math]g_{ij}[/math] можно реализовать как [math]\bigvee\limits_{\beta_l = 1} y_{il}[/math], где [math]y_{il}[/math] — выдал ли дешифратор "1" на [math]l[/math]-м выходе [math]i[/math]-й полосы.

Число элементов [math]L_B \leq (s - 1) \cdot (t(1) + t(2) + ... + t(p)) \lt sp \cdot 2^{s}[/math]

  • Блок C — схемная реализация всех [math]f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_n)[/math].

Число элементов [math]L_C \sim p \cdot 2^{n - k} = \frac{2^n}{s}[/math]

  • Блок D — мультиплексор, получающий на вход все [math]f(x_1, x_2, ..., x_k, \sigma_{k + 1}, \sigma_{k + 2}, ..., \sigma_n)[/math] и параметры функции [math]x_{k + 1}, x_{k + 2}, ..., x_n[/math] в качестве двоичного представления числа.

Число элементов [math]L_D \sim 2^{n - k}[/math]

Результат работы схемы — вывод мультиплексора.

Положим [math]s = [n - 2\log_2 n][/math]; [math]k = [\log_2 n][/math]. Тогда

  • [math]L_A \sim 2^{\log_2 n} \lesssim \frac{2^n}{n}[/math]
  • [math]L_B \lt sp \cdot 2^s = 2^{k + s} = \frac{2^n}{n}[/math]
  • [math]L_C \sim \frac{2^n}{s} \sim \frac{2^n}{n}[/math]
  • [math]L_D \sim 2^{n - k} = \frac{2^n}{n}[/math]

Итого, имеем схему с итоговым числом элементов [math]\sim \frac{2^n}{n}[/math], откуда следует, что [math]size_B (f) \lesssim \frac{2^n}{n}[/math], ч.т.д.

Ссылки

Литература

  • Яблонский С.В. Введение в дискретную математику, изд. Наука, 1986, стр. 361 — более обобщённое доказательство, частично взятое за основу.