Множества — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Начальные определения)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 17 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Категория:Математический анализ 1 курс]] [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория:Отношения]]
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
  
Лекция от 06.09.10.
+
==Определения==
 
 
''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».
 
 
 
В математическом анализе используется «наивная» теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870).
 
 
 
<tex>a \in A</tex> (объект а принадлежит множеству А)
 
 
 
<tex>a \notin A</tex> (объект а не принадлежит множеству А)
 
 
 
== Мощность множества (Лекция от 20 сентября 2010.)==
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Если А и В {{---}} произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, что они '''равномощны''': <tex> |A| = |B| </tex>
+
''Множество'' {{---}} первичное математическое понятие, которому не дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.
 
}}
 
}}
 
Множество называется ''конечным'', если его элементы можно пересчитать, иначе его оно называется ''бесконечным''.
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Если <tex> |A| = |\mathbb N| </tex>, то A называется '''счетным''' множеством.
+
Объекты, из которых состоит множество, называют ''элементами'' этого множества. Если <tex>a</tex> {{---}} элемент множества <tex>A</tex>, то записывают <tex>a \in A</tex> («<tex>a</tex> принадлежит <tex>A</tex>»). Если <tex>a</tex> не является элементом множества <tex>A</tex>, то записывают <tex>a \notin A</tex> («<tex>a</tex> не принадлежит <tex>A</tex>»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.
 
}}
 
}}
  
<tex> A = \{a_1, a_2, ... , a_n \} </tex> - счетное множество.
+
==Способы задания множеств==
  
Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.
+
Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.
  
{{Утверждение
+
==== Перечисление ====
|statement=
+
Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество.
Если А - бесконечное множество, то в нем содержится по меньшей мере одно счетное подмножество.
+
 
|proof=
+
<tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>
<tex> B \subset A </tex>
+
 
 +
==== Описание ====
 +
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.
  
<tex> a_1 \in A \Rightarrow A \backslash \{ a_1 \} = A_1 </tex> - бесконечное множество.
+
<tex> A = \{a \mid P\} </tex> , где <tex>P</tex> {{---}} определенное свойство элемента <tex>a</tex>.
  
<tex> a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \{ a_2 \} = A_2 </tex> - также бесконечное множество.
+
== Отношения между множествами ==
  
Продолжаем этот процесс далее, пока не останется <tex> B \subset A </tex> - счетное множество. (ЩИТО? У кого есть что-нибудь адекватное насчет этого, исправьте, пожалуйста.)
+
Два множества <tex>A</tex> и <tex>B</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения.
}}
 
  
Если <tex> \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> - совокупность попарно различных элементов, то это - счетное множество.
+
==== Включение ====
 +
* <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству <tex>B</tex> :
 +
*: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B</tex>
  
Для счетных множеств часто применяется следующий факт:
+
* <tex>A</tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>:
{{Утверждение
+
*: <tex>{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex>
|statement=
 
Не более чем счетное объединение не более, чем счетных множеств, не более, чем счетно:
 
  
Пусть <tex> A_n </tex> - счетное/конечное множество.
+
* <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему:
 +
*: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}</tex>
  
Тогда: <tex> | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| </tex>
+
==== Равенство ====
 +
* <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга:
 +
*: <tex>{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}</tex>
  
|proof=
+
==== Общие элементы ====
 +
* <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов:
 +
*: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex>
  
<tex> A_n = \{ a_{n1}, a_{n2}, ... \} </tex>.
 
  
TODO: А вот тут должна какая-то биекция, доказывающая это утверждение.
+
== Специальные множества ==
  
<tex> \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots \\ a_{31} & \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} </tex>
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
''Пустое множество'' {{---}} множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как <tex>\varnothing</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex> Множество I = [0, 1] </tex> называется ''континииумом''.
+
''Универсальное множество'' {{---}} множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как <tex> \ \displaystyle \mathbb {U}</tex>.
 
}}
 
}}
  
{{Утверждение
+
== Операции над множествами ==
|statement=
 
<tex> I </tex> - несчетное множество.
 
|proof=
 
Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков:
 
  
Пусть <tex> I = \{ x_1, x_2, ... , x_n \} </tex>
+
==== Бинарные операции над множествами ====
  
Разделим I на 3 части и назовем <tex> \Delta_1 : x_1 \notin \Delta_1 </tex>. Такой отрезок всегда существует.
+
* Пересечение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.
 +
*: <tex>{\displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\land x\in B\}}</tex>
  
Далее разобьем <tex> \Delta_1 </tex> на 3 части. Назовем <tex> \Delta_2 </tex> тот отрезок, который не содержит <tex> x_2 </tex>, и так далее..
+
* Объединение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.
 +
*: <tex>{\displaystyle A\cup B =\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}</tex>
  
В результате выстраивается система вложенных отрезков:  
+
* Разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.
 +
*: <tex>{\displaystyle A\setminus B =A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}}</tex>
  
<tex> \{ \Delta_n : \Delta_{n+1} \subset \Delta_n, x_n \notin \Delta_n \} </tex>
+
* Симметрическая разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.
 +
*: <tex> {\displaystyle A \bigtriangleup B \equiv A - B  = (A \cup B) \setminus (A \cap B) }</tex>
  
По свойству системы вложенных отрезков:
+
==== Унарные операции над множествами ====
  
<tex> \exists d = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n </tex>  
+
* Дополнение определяется следующим образом:
 +
*: <tex>{\displaystyle {{\overline {A}}\equiv A^{\complement }=\{x\mid x\notin A\}}=U\setminus A}</tex>.
  
<tex> d \in I </tex>. Пусть теперь <tex> d \in \{ x_i \} \Rightarrow d = x_{n_0} </tex>.
+
== Теорема де Моргана ==
  
По построению: <tex> d = x_{n_0} \notin \Delta_{n_0} </tex>, но <tex> d \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \Rightarrow d \in \Delta_{n_0} </tex>, противоречие.
+
{{Теорема
 
+
|about=
}}
+
де Моргана
 
 
Если <tex> |A| = |I| </tex>, то обычно говорят, что А ''обладает мощностью континиума'':
 
 
 
{{Утверждение
 
 
|statement=  
 
|statement=  
<tex> |\mathbb R| = |I| </tex>
+
<tex>\displaystyle {\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\
 +
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} </tex>
 
|proof=
 
|proof=
Рассмотрим функцию <tex> y = tg \, x, x \in ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>
+
Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.
 
+
Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).
С ее помощью можно установить биекцию между множествами <tex> \mathbb R </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>.
 
 
 
Биекцию между множествами <tex> (0, 1) </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex> можно установить параллельным переносом и сжатием:
 
 
 
<tex> x \leftrightarrow (x * \pi) - \frac {\pi}{2} </tex>
 
 
 
Получили, что <tex> |\mathbb R| = | ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) | = | (0, 1) | </tex>.
 
 
 
Осталось доказать, что <tex> |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>.
 
 
 
Применим следующий прием:
 
  
Пусть <tex> a_1, a_2, ... , a_n, ... \in (0, 1) </tex> - попарно различны.
+
Сначала докажем, что <tex> \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>.
  
Множество <tex> A = \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> - счетное.
+
Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, <tex>\nexists \ \alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_i}</tex>. Следовательно, <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.
 +
В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.
  
Определим множество <tex> B = A \cup \{ 0, 1 \} </tex>. Множество <tex> B </tex> также счетное.
 
  
Между счетными множествами можно установить биекцию: <tex> B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A = [0, 1] \backslash B
+
Теперь докажем, что <tex> \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>
\Rightarrow (0, 1) = [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>
 
 
 
В итоге получили, что <tex> |\mathbb R| = |[0, 1]| </tex>
 
  
 +
Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha \Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>
 +
Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.
 
}}
 
}}
  
<tex> \mathbb Q </tex> - счетно.
+
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
 
+
:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \Rightarrow (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>
<tex> |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow </tex> иррациональных чисел по мощности континииум.
+
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.
 
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 
 
 
==Задание множеств==
 
 
 
1) Перечислением элементов: <tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>
 
 
 
2) Заданием определенного свойства обьектов: <tex> A = \{a: P\} </tex> , где P - определенное свойство обьекта а
 
 
 
==Операции==
 
 
 
# <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>);
 
# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>);
 
# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>);
 
# <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>;
 
# <tex>  \varnothing </tex> - пустое множество:
 
# <tex> A \cup \varnothing = A </tex>
 
# <tex> A \cap \varnothing = \varnothing </tex>
 
# <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex>
 
# <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
 
#* <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...
 
#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>
 
#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..
 
# <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> - "множество всего".
 
# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;
 
 
 
{{Теорема
 
|about=
 
Де Моргана
 
|statement=
 
<tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\
 
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} </tex>
 
|proof=
 
????????
 
}}
 

Текущая версия на 19:14, 4 сентября 2022


Определения

Определение:
Множество — первичное математическое понятие, которому не дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством.


Определение:
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами этого множества. Если [math]a[/math] — элемент множества [math]A[/math], то записывают [math]a \in A[/math][math]a[/math] принадлежит [math]A[/math]»). Если [math]a[/math] не является элементом множества [math]A[/math], то записывают [math]a \notin A[/math][math]a[/math] не принадлежит [math]A[/math]»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.


Способы задания множеств

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Перечисление

Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество.

[math] A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} [/math]

Описание

Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.

[math] A = \{a \mid P\} [/math] , где [math]P[/math] — определенное свойство элемента [math]a[/math].

Отношения между множествами

Два множества [math]A[/math] и [math]B[/math] могут вступать друг с другом в различные отношения.

Включение

  • [math]A[/math] включено в [math]B[/math], если каждый элемент множества [math]A[/math] принадлежит также и множеству [math]B[/math] :
    [math]\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B[/math]
  • [math]A[/math] включает [math]B[/math], если [math]B[/math] включено в [math]A[/math]:
    [math]{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}[/math]
  • [math]A[/math] строго включено в [math]B[/math], если [math]A[/math] включено в [math]B[/math], но не равно ему:
    [math]{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}[/math]

Равенство

  • [math]A[/math] равно [math]B[/math], если [math]A[/math] и [math]B[/math] включены друг в друга:
    [math]{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}[/math]

Общие элементы

  • [math]A[/math] и [math]B[/math] не пересекаются, если у них нет общих элементов:
    [math]A[/math] и [math]B[/math] не пересекаются [math]{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}[/math]


Специальные множества

Определение:
Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как [math]\varnothing[/math].


Определение:
Универсальное множество — множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как [math] \ \displaystyle \mathbb {U}[/math].


Операции над множествами

Бинарные операции над множествами

  • Пересечение [math]A[/math] и [math]B[/math].
    [math]{\displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\land x\in B\}}[/math]
  • Объединение [math]A[/math] и [math]B[/math].
    [math]{\displaystyle A\cup B =\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}[/math]
  • Разность [math]A[/math] и [math]B[/math].
    [math]{\displaystyle A\setminus B =A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}}[/math]
  • Симметрическая разность [math]A[/math] и [math]B[/math].
    [math] {\displaystyle A \bigtriangleup B \equiv A - B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) }[/math]

Унарные операции над множествами

  • Дополнение определяется следующим образом:
    [math]{\displaystyle {{\overline {A}}\equiv A^{\complement }=\{x\mid x\notin A\}}=U\setminus A}[/math].

Теорема де Моргана

Теорема (де Моргана):
[math]\displaystyle {\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\ \overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).

Сначала докажем, что [math] \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}[/math].

Пусть [math]x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )[/math]. Значит, [math]\nexists \ \alpha_i[/math] такого, что [math]x \in A_{\alpha_i}[/math]. Следовательно, [math]\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )[/math]. В силу выбора [math]x[/math] (любой элемент множества [math]\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}[/math]) следует искомое включение.


Теперь докажем, что [math] \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}[/math]

Пусть [math]x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )[/math]. Тогда [math]\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \notin A_\alpha[/math]. Поскольку [math]x[/math] не входит ни в одно объединяемое множество, то [math]x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha \Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}[/math]

Аналогично, в силу выбора [math]x[/math] выполняется искомое включение.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства

[math](A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \Rightarrow (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)[/math]

Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.