Оптимальное хранение словаря в алгоритме Хаффмана

При сжатии данных алгоритмом Хаффмана появляется проблема передачи оптимального кода зашифрованного сообщения, который поможет получателю расшифровать его. Рассмотрим некоторые варианты решения этой задачи.

Задача:

Пусть у нас есть алфавит [math]\Sigma = \{a_1, a_2, \cdots, a_n\}[/math], [math]|\Sigma| = n[/math], и код [math]c[/math], сопоставляющий каждому символу [math]a_i[/math] его код [math]c_i[/math]. Нужно придумать эффективное представление кода [math] c [/math] в памяти.

Простое решение

Заметим, что [math]\forall i: |c_i| \leqslant n[/math]. Дополним все коды до длины [math] n [/math] нулями с конца и запишем их друг за другом. Также необходимо передать [math] n [/math]. При условии, что [math] n [/math] не превышает [math] 2^{32} - 1 [/math] получаем [math] 32 + n^2 [/math] дополнительных бит на передачу префиксного кода.

Чтобы декодировать полученную информацию о коде, достаточно сначала узнать [math]n[/math] и записать в префиксное дерево коды всех символов. Построив соответствующее дерево, можно заметить, что некоторые вершины являются единственным ребенком — такие вершины получены в результате дополнения нашего оптимального кода до [math]n[/math] бит нулями. Все такие вершины можно просто удалить из дерева, и мы получим оптимальный префиксный код, который мы передавали.

Докажем, что код который мы получили совпадает с изначальным. В результате дополнения всех кодов до длины [math]n[/math] мы, очевидно, ничего не потеряли в структуре дерева, ведь дополнение кода нулями фактически равносильно добавлению к дереву пустых (не несущих информации) листьев и вершин. В результате удаления вершин, являющихся единственным ребенком, мы также не удалим лишние: предположим мы удалили вершину, в которой содержался какой-то код, тогда она не могла быть единственным ребенком ввиду самого алгоритма Хаффмана, ведь мы выбираем два узла с наименьшим весом и добавляем их к вновь сформированному узлу.

Пример

Для примера возьмем слово "миссисипи". Тогда код [math] c [/math] будет выглядеть следующим образом:

Символ	и	м	п	с
Код	0	100	101	11

При помощи нашего алгоритма [math] c [/math] будет закодирован как:

[math]0000\ 1000\ 1010\ 1100[/math]

Построим префиксное дерево по полученному коду:

Удалив вершины, являющиеся единственными детьми у других вершин, получим зашифрованное префиксное дерево:

Эффективное решение

Построим префиксное дерево, соответствующее нашему коду [math]c[/math]. Наша задача состоит из двух подзадач: передача структуры этого дерева и передача информации, по которой впоследствии можно будет понять, где какой лист находится.

Передача структуры дерева

Обойдем дерево, используя обход в глубину, причем будем сначала всегда спускаться в левого ребенка, а только потом — в правого. Каждый раз, проходя по ребру запишем одну из букв [math] L [/math], [math] R [/math] или [math] U [/math], в зависимости от того, куда по ребру мы прошли ([math]L[/math] — в левого ребенка, [math]R[/math] — в правого ребенка, [math]U[/math] — в родителя). Эта информация поможет нам восстановить дерево.

Построим обход дерева Хаффмана для слова "миссисипи":

[math]LURLLURUURUU[/math]

Первая модификация

Заметим, что на самом деле мы можем объединить ребра типа [math]L[/math] и [math]R[/math] в ребро типа [math]D[/math], которое значит, что мы спускаемся вниз, а в которого ребенка — в левого или в правого, можно определить на месте.

Модифицируем наш обход:

[math]DUDDDUDUUDUU[/math]

Вторая модификация

Модифицируем значение команды [math]U[/math]. Пусть теперь символ [math]U[/math] значит, что мы поднимаемся к предку текущей вершины, пока мы — правый ребенок или пока не достигли корня, и если мы, остановившись, пришли из левого сына вершины, перейдем по ребру в правого ребенка. После такой модификации записывая каждый символ мы ровно по одному ребру проходим в первый раз. Конечный вариант кодировки дерева: [math]DUDDUUU[/math] Распишем подробнее:

[math]D[/math]	Спускаемся влево
[math]U[/math]	Поднимаемся и спускаемся вправо
[math]D[/math]	Спускаемся влево
[math]D[/math]	Спускаемся влево
[math]U[/math]	Поднимаемся и спускаемся вправо
[math]U[/math]	Поднимаемся, поднимаемся и спускаемся вправо
[math]U[/math]	Поднимаемся до корня

Оценим используемое количество памяти. Так как в нашем дереве [math] n [/math] листьев, то в нем [math] 2 \cdot n - 2 [/math] ребер (это легко показать из алгоритма Хаффмана, в нем [math] n - 1 [/math] итерация и на каждой в дерево добавляется по два ребра), а символов в нашей записи будет [math] 2 \cdot n - 1 [/math], так как на каждое ребро приходится по символу плюс последний, терминальный, [math] U [/math]. Заметим, что терминальный [math]U[/math] нам вообще говоря не нужен: мы всегда в конце поднимаемся в корень дерева, а значит, если все символы прочитаны — то обход закончен. Итоговая оценка памяти: [math] 2 \cdot n - 2 [/math].

Передача информации для восстановления листьев

Алфавит нам будет дан изначально, не будет лишь кодов каждого символа, следовательно нам нужно просто указать, какой лист в дереве соответствует каждому символу. Занумеруем подряд все символы алфавита. Сопоставим каждому символу алфавита код фиксированной [math]c'[/math] длины [math] \lceil \log _2 \rceil n[/math] — его порядковый номер в алфавите, записанный в двоичной системе счисления. Все коды имеют фиксированную длину, а значит легко понять где заканчивается один, и начинается другой код. Тогда, если выписать подряд коды [math]c'[/math] для всех символов в том порядке, в котором обход в глубину посещает соответствующие им листы, несложно восстановить, какому символу какой код [math]c[/math] соответствует. Когда мы, в результате обхода в глубину, пришли в вершину, у которой нет детей, мы возьмем следующий переданный нам номер, посмотрим в нашем алфавите что это за символ, и присвоим текущей вершине этот символ.

Отсутствие некоторых символов в тексте

Предположим теперь, что не все символы из алфавита были использованы в тексте, тогда возникает вопрос: получив очередной код, как узнать какому символу он принадлежит? Для решения этой проблемы поступим следующим образом: выпишем подряд коды [math]c'[/math] в том порядке, в котором обход в глубину посещает соответствующие им листы, лишь для тех символов, что были использованы в нашем сообщении. Тогда встретив очередной символ, мы гарантированно будем знать, что он встречался в нашем сообщении.

Используемая память

В этом решении нам также придется передавать размер алфавита ([math]32[/math] бита).

Итого, задача решена с использованием [math]n \lceil \log_2 \rceil n + 2n - 1 + 32 = n \lceil \log_2 \rceil n + 2n + 31 [/math] бит.

Если же были использованы не все символы, то будет использовано [math]k \lceil \log_2 \rceil n + 2k - 1 + 32 = k \lceil \log_2 \rceil n + 2k + 31 [/math] бит, где [math]k[/math] — количество использованных символов.

Реализация

 // s — наша строка обхода, tree[] — дерево вершин, code — текущий код, alphabet[] — массив кодов символов, 
 // c'[] — номера символов в порядке обхода
function huffman():
  //текущая вершина — корень дерева
  curV = root
  for i = 0..n - 2
    if s[i] == 'D'
      curV = tree[curV].leftChild
      code += '0'
      if curV не имеет детей
        alphabet[следующий номер c'].push(code)
    else
      while curV является правым ребенком и curV не корень
        curV = tree[curV].parent
        удалить из code последний символ
        curV = tree[curV].rightChild
        code += '1'
        if curV не имеет детей
          alphabet[следующий номер c'].push(code)

См. также

• Алгоритм Хаффмана за O(n)

Источники информации

• Answerstop.org — Efficient way of storing Huffman tree
• Hashcode.ru — Как хранить дерево Хаффмана?