Основные определения, связанные со строками — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Базовые определения)
м (Примеры)
 
(не показано 27 промежуточных версий 15 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
== Базовые определения ==
 
== Базовые определения ==
 +
{{Определение
 +
|definition='''Символ''' (англ. ''symbol'') {{---}} объект, имеющий собственное содержание и уникальную читаемую форму.
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|id=alphabet
 +
|definition =
 +
'''Алфавит''' (англ. ''alphabet'') {{---}} конечное непустое [[Множества|множество]] символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой <tex>\Sigma</tex>.
 +
}}
 +
 +
Наиболее часто используются следующие алфавиты:
 +
* <tex>\Sigma=\{0, 1\}</tex> {{---}} бинарный или двоичный алфавит.
 +
* <tex>\Sigma=\{a, b, \dots,z\}</tex> {{---}} множество строчных букв английского алфавита.
 +
* <tex>\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} </tex> {{---}} алфавит цифр.
 +
* <tex>\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} </tex> {{---}} алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.
 +
* Нотные знаки
 +
 +
{{Определение
 +
|id=string
 +
|definition =
 +
'''Слово''' (англ. ''string'') или '''цепочка''' {{---}} конечная последовательность символов некоторого алфавита.
 +
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
'''Алфавитом''' <tex>\Sigma</tex> называется конечное непустое множество элементов, называемых символами.
+
'''Длина цепочки''' (англ. ''string length'') {{---}} число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки <tex>w</tex> обычно обозначают <tex>|w|</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
'''Нейтральный элемент''' (пустую строку) обозначим как <tex>\varepsilon \in \Sigma^{0}</tex>. Для любой строки <tex>\alpha</tex> верно: <tex>\alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex>.
+
<tex>\Sigma^k</tex> {{---}} множество цепочек длины <tex>k</tex> над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
'''Цепочкой''' (словом, строкой) конечной длины обозначим элемент из <tex>\Sigma^* : \Sigma^* = \bigcup\limits_{n = 0}^\infty \Sigma^n</tex>.
+
<tex>\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k</tex> {{---}} множество всех цепочек над алфавитом <tex>\Sigma</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id = defconcat
 
|definition =
 
|definition =
'''Конкатенацией''' строк <tex>\alpha \in \Sigma^k</tex> и <tex>\beta \in \Sigma^m</tex> является строка <tex>\alpha\beta \in \Sigma^{k+m}</tex>. Конкатенация является ассоциативной операцией.
+
Пусть <tex>\alpha,\ \beta \in \Sigma^*</tex>. Тогда <tex> \alpha \cdot \beta </tex> или <tex> \alpha \beta </tex> обозначает их '''конкатенацию''' (англ. ''concatenation''), то есть цепочку, в которой последовательно записаны цепочки <tex> \alpha </tex> и <tex> \beta </tex>.
 
}}
 
}}
  
<tex>\Sigma^*</tex> с операцией конкатенации и нейтральным элементом <tex>\varepsilon</tex> образуют моноид. Данный моноид совпадает со свободным над <tex>\Sigma</tex>.
+
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Пустая цепочка''' (англ. ''empty string'') {{---}} цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую <tex> \varepsilon </tex>, можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. Для любой строки <tex>\alpha \in \Sigma^k</tex> верно <tex> : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha</tex>.
 +
}}
  
== Отношения между строками ==
+
Множество строк с операцией ''конкатенации'' и нейтральным элементом ''пустой строкой'' образует [[Моноид|свободный моноид]].
 +
 
 +
==Отношения между строками==
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition =
+
|id=prefix
<tex>\alpha</tex> называется '''префиксом''' <tex>\beta</tex>, если <tex>\beta = \alpha \gamma</tex>. Аналогично определяется '''суффикс''' строки.
+
|definition='''Префикс''' (англ. ''prefix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \alpha \gamma</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
Пусть <tex>\beta = \underline{abr}acadabra</tex>, тогда <tex>\alpha = abr</tex> {{---}} префикс <tex>\beta</tex>.
 +
 
 +
{{Определение
 +
|id=suffix
 +
|definition='''Суффикс''' (англ. ''suffix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha </tex>.  
 
}}
 
}}
  
Пусть <tex>\beta = \underline{abr}acada\underline{bra}</tex>, тогда
+
Пусть <tex>\beta = abracada\underline{bra}</tex>, тогда <tex>\alpha = bra</tex> {{---}} суффикс <tex>\beta</tex>.
*если <tex>\alpha = abr</tex>, то <tex>\alpha</tex> является префиксом <tex>\beta</tex>
 
*если <tex>\alpha = bra</tex>, то суффиксом.
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition =
 
<tex>\alpha</tex> называется '''бордером''' <tex>\beta</tex>, если <tex>\alpha</tex> одновременно является и суффиксом и префиксом.
 
 
|id=border
 
|id=border
 +
|definition='''Бордер''' (англ. ''circumfix'') строки <tex>\beta</tex> {{---}} строка <tex>\alpha : \beta = \gamma \alpha = \alpha \eta</tex>.
 +
}}
 +
 +
Пусть <tex>\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}</tex>, тогда <tex>\alpha = abra</tex> {{---}} бордер <tex>\beta</tex>.
 +
 +
{{Определение
 +
|id=ind
 +
|definition=<tex>\alpha[i]</tex> {{---}} символ строки <tex>\alpha</tex>, находящийся на <tex>i</tex>-ой позиции.
 +
}}
 +
 +
Пусть <tex>\beta = cacao</tex>, тогда <tex>\beta[1] = c, \beta[4] = a </tex>.
 +
 +
{{Определение
 +
|id=period
 +
|definition='''Период''' (англ. ''period'') строки <tex>\alpha</tex> {{---}} число <tex>p : \forall i = 1 \ldots |\alpha| - p,
 +
\alpha [i] = \alpha[i + p]</tex>.
 +
}}
 +
 +
Пусть <tex>\alpha = acaacaa</tex>, тогда <tex>p = 3</tex> {{---}} период строки <tex>\alpha = acaacaa</tex>.
 +
 +
 +
{{Утверждение
 +
|statement=Пусть известна строка <tex>\tau</tex> {{---}} период <tex>\alpha</tex> и <tex>|\alpha|</tex>, тогда можно восстановить всю строку <tex>\alpha</tex>.
 +
|proof=Из определения периода строки следует, что <tex>\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] </tex>, где <tex>k = </tex> <tex dpi="140">\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor</tex>.
 +
 +
Таким образом <tex>\alpha = </tex><tex dpi="140">\sum \limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor}</tex><tex> \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|]</tex>.
 +
}}
 +
 +
 +
{{Определение
 +
|id=hardperiod
 +
|definition=Строка <tex>\alpha \neq \varepsilon</tex> c периодом <tex>p \neq |\alpha|</tex>, называется '''сильнопериодической''', если <tex>|\alpha| \bmod p = 0</tex>.
 
}}
 
}}
  
Пусть <tex>\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}</tex>, тогда <tex>\alpha = abra</tex> будет бордером <tex>\beta</tex>.
+
Строка <tex>\alpha = acaacaaca</tex> является сильнопериодической с периодом <tex>p = 3</tex>.
 +
 
 +
{{Определение
 +
|id=substring
 +
|definition='''Подстрока''' (англ. ''substring'') {{---}} некоторая непустая подпоследовательность подряд идущих символов строки.
 +
}}
 +
 
 +
Пусть <tex>\beta = abr\underline{aca}dabra</tex>, тогда <tex>\alpha = aca</tex> {{---}} подстрока строки <tex>\beta</tex>.
 +
 
 +
{{Определение
 +
|id=repetition
 +
|definition='''Тандемным повтором''' (англ. ''repetition'') называется непустая строка вида <math>\alpha\alpha</math>.
 +
}}
 +
 
 +
{{Определение
 +
|id=palindrome
 +
|definition='''Палиндромом''' (англ. <i>Palindrome</i>) называется строка вида <tex>\alpha\overline{\alpha}</tex> или <tex>\alpha c\overline{\alpha}</tex>, где <tex>\overline{\alpha}</tex> {{---}} развернутая строка <tex>\alpha</tex>, <tex>c</tex> {{---}} любой символ.
 +
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
<tex>p</tex> называется '''периодом''' <tex>\alpha</tex>, если <tex>\forall i = 1 \ldots [n / p] * p - p \quad</tex> <tex>\alpha [i] = \alpha[i + p]</tex>.
+
Строка <tex>\alpha</tex> '''лексикографически меньше''' строки <tex>\beta</tex> (<tex>\alpha < \beta</tex>), если
|id=border
+
1. <tex>\alpha</tex> {{---}} префикс <tex>\beta</tex>
 +
 
 +
''или''
 +
 
 +
2. <tex> \mathcal \exists k : k \leqslant \min(|\alpha|, |\beta|) </tex> и <tex> \alpha[k] < \beta[k] </tex>, при этом <tex> \mathcal \forall j < k : \alpha_j = \beta_j </tex>
 
}}
 
}}
  
Строка <tex>\alpha = acaacab</tex> является сильнопериодической (<tex>p = 3</tex>).
+
Строка <tex>\alpha = aca < \beta = acaaba</tex>, так как является префиксом <tex>\beta</tex>.
  
 +
Строка <tex>\alpha = acaa < \beta = acab</tex>, так как <tex>a < b</tex>.
 +
 +
== Формальные языки ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id = deflanguage
 
|definition =
 
|definition =
Строка <tex>\alpha</tex> называется сильнопериодической, если <tex>n</tex> <tex>mod</tex> <tex>p = 0</tex>.
+
'''Язык''' (англ. ''language'') над алфавитом <tex>\Sigma</tex> {{---}} некоторое подмножество <tex>\Sigma^*</tex>. Иногда такие языки называют '''формальными''' (англ. ''formal''), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.
 
}}
 
}}
 +
Отметим, что язык в <tex>\Sigma</tex> не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы <tex>\Sigma</tex>. Поэтому, если известно, что <tex>L</tex> является языком над <tex>\Sigma</tex>, то можно утверждать, что <tex>L</tex> {{---}} это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством <tex>\Sigma</tex>.
 +
=== Операции над языками ===
 +
Пусть <tex>L</tex> и <tex>M</tex> {{---}} языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.
 +
#Теоретико-множественные операции:
 +
#* <tex>L \cup M</tex> {{---}} объединение,
 +
#* <tex>L \cap M </tex> {{---}} пересечение,
 +
#* <tex>L \setminus M</tex> {{---}} разность,
 +
#* <tex>\overline{L}=\Sigma^* \setminus L</tex> {{---}} дополнение.
 +
# Конкатенация: <tex>LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}</tex>.
 +
# Конкатенация с обратным языком: <tex>LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}</tex>; конкатенация с обратным словом: <tex>Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*</tex>.
 +
# Степень языка: <tex>L^k=\begin{cases}
 +
\{\varepsilon\}, k = 0\\
 +
LL^{k-1}, k > 0.
 +
\end{cases}
 +
</tex>
 +
# Замыкание Клини: <tex>L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i</tex>.
 +
# [[#Гомоморфизм языков| Гомоморфизм]]
  
Строка <tex>\alpha = acaacaaca</tex> является сильнопериодической (<tex>p = 3</tex>).
+
=== Примеры ===
 +
* <tex>(\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)</tex> {{---}} язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
 +
* <tex>(\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)</tex> {{---}} аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
 +
* <tex>(\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*</tex> {{---}} содержит все двоичные векторы и пустую строку.
 +
* Если <tex>L_p</tex> — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык <tex>(L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*)) \ \ </tex> будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
 +
* <tex>\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}</tex>.
  
 +
== Гомоморфизм языков ==
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition =
+
|definition=
Строка <tex>\alpha</tex> является '''подстрокой''' <tex>\beta</tex>, если <tex>\beta = \gamma \alpha \delta</tex>.
+
Пусть даны два алфавита <tex>\Sigma_1, \Sigma_2</tex>. '''Гомоморфизмом''' называется такое отображение <tex> \varphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}</tex>, что:
 +
* <tex>\varphi(\varepsilon) = \varepsilon</tex>, то есть сохраняет пустую строку
 +
* <tex>\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \varphi(w_1)\varphi(w_2)</tex>, то есть сохраняет конкатенацию
 
}}
 
}}
  
Строка <tex>\alpha = aca</tex> является подстрокой <tex>\beta = abr\underline{aca}dabra</tex>.
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Образом языка''' <tex>L \subset \Sigma_1^* </tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> (иногда называют '''прямым гомоморфизмом''') называется язык <tex>M = \varphi(L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}</tex>. <br>
 +
Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>
 +
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition =
+
|definition=
Строка <tex>\alpha \le \beta</tex>, если:
+
'''Прообразом языка''' <tex>M \subset \Sigma_2^*</tex> при гомоморфизме <tex>\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*</tex> (иногда называют '''обратным гомоморфизмом''') называется язык <tex>L = \varphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}</tex>. <br>
* <tex>\alpha</tex> префикс <tex>\beta</tex>
+
Заметим, что <tex>\varphi</tex> будет [[Моноид#defmonhom | гомоморфизмом моноидов]] <tex>\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle</tex> и <tex>\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle</tex>
* <tex>\gamma</tex> общий префикс <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>, <tex>\alpha = \gamma c \delta</tex>, <tex>\beta = \gamma d \xi</tex> и <tex>c < d</tex>
 
 
}}
 
}}
  
Строка <tex>\alpha = aca \le \beta = acaaba</tex>, т.к. является префиксом <tex>\beta</tex>.
+
=== Примеры ===
  
Строка <tex>\alpha = acaa \le \beta = acab</tex>, т.к. <tex>a \le b</tex>.
+
* тривиальные гомоморфизмы
 +
** обнуляющий: <tex> \varphi(x) = \varepsilon, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = \{ \varepsilon \} </tex>
 +
** тождественный: <tex> \varphi(x) = x, x \in L </tex>, тогда <tex> \varphi(L) = L </tex> и <tex> \varphi^{-1}(L) = L</tex>
 +
* '''гомоморфизм цепочек''' {{---}} функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения <tex> h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* </tex> гомоморфизмом цепочек будет функция <tex> \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* </tex>, действующая от каждого символа строки из языка следующим образом <tex> \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) </tex>. Регулярные языки [[Замкнутость регулярных языков относительно различных операций#st1 | замкнуты]] относительно гомоморфизма цепочек
 +
* ''солнечный язык'' из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ <tex> z </tex> переходит в <tex> zCz </tex>  
 +
* циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний {{---}} в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.
 +
== См. также ==
 +
* [[Период и бордер, их связь]]
 +
* [[Слово Фибоначчи]]
 +
* [[Слово Туэ-Морса]]
 +
* [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность]]
  
==Литература==
+
== Источники информации ==
 +
* [[wikipedia:Formal_language_theory | Wikipedia {{---}} Formal language]]
 +
* [[wikipedia:Kleene_star | Wikipedia {{---}} Kleene star]]
 +
* [[wikipedia:String_operations#String_homomorphism | Wikipedia {{---}} String homomorphism]]
 +
* [[wikipedia:ru:Формальный_язык | Википедия {{---}} Формальный язык]]
 +
* [[wikipedia:ru:Звезда_Клини| Википедия {{---}} Звезда Клини]]
 +
* [http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCsQFjAA&url=http%3A%2F%2Fehess.modelisationsavoirs.fr%2Fatiam%2Fbiblio%2FLothaire83-chap1.pdf&ei=UiV6UuvbAeaP4gSot4HwCA&usg=AFQjCNGUnEUG4oKbynqjDvd6NVMfSUuMJQ&sig2=GzMd4HvBNW2vYctSWDfvZQ&bvm=bv.55980276,d.bGE&cad=rjt M.Lothaire "Combinatorics on words"]
 
* Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология. — 2-е изд.
 
* Гасфилд Д. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология. — 2-е изд.
 +
* Kelley, Dean (1995). Automata and Formal Languages: An Introduction. London: Prentice-Hall International. ISBN 0-13-497777-7.
 +
* ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. {{---}} С. 45.
  
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
+
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]]
+
[[Категория: Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]]
 +
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]

Текущая версия на 11:50, 10 апреля 2019

Базовые определения[править]

Определение:
Символ (англ. symbol) — объект, имеющий собственное содержание и уникальную читаемую форму.


Определение:
Алфавит (англ. alphabet) — конечное непустое множество символов. Условимся обозначать алфавит большой греческой буквой [math]\Sigma[/math].


Наиболее часто используются следующие алфавиты:

  • [math]\Sigma=\{0, 1\}[/math] — бинарный или двоичный алфавит.
  • [math]\Sigma=\{a, b, \dots,z\}[/math] — множество строчных букв английского алфавита.
  • [math]\Sigma = \left\{0, 1, 2, \dots, 9\right\} [/math] — алфавит цифр.
  • [math]\Sigma = \left\{\cdot, -\right\} [/math] — алфавит, лежащий в основе азбуки Морзе.
  • Нотные знаки


Определение:
Слово (англ. string) или цепочка — конечная последовательность символов некоторого алфавита.


Определение:
Длина цепочки (англ. string length) — число символов в цепочке. Длину некоторой цепочки [math]w[/math] обычно обозначают [math]|w|[/math].


Определение:
[math]\Sigma^k[/math] — множество цепочек длины [math]k[/math] над алфавитом [math]\Sigma[/math].


Определение:
[math]\Sigma^* = \bigcup \limits _{k=0}^\infty \Sigma^k[/math] — множество всех цепочек над алфавитом [math]\Sigma[/math].


Определение:
Пусть [math]\alpha,\ \beta \in \Sigma^*[/math]. Тогда [math] \alpha \cdot \beta [/math] или [math] \alpha \beta [/math] обозначает их конкатенацию (англ. concatenation), то есть цепочку, в которой последовательно записаны цепочки [math] \alpha [/math] и [math] \beta [/math].


Определение:
Пустая цепочка (англ. empty string) — цепочка, не содержащая ни одного символа. Эту цепочку, обозначаемую [math] \varepsilon [/math], можно рассматривать как цепочку в любом алфавите. Для любой строки [math]\alpha \in \Sigma^k[/math] верно [math] : \alpha\varepsilon=\varepsilon\alpha=\alpha[/math].


Множество строк с операцией конкатенации и нейтральным элементом пустой строкой образует свободный моноид.

Отношения между строками[править]

Определение:
Префикс (англ. prefix) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \beta = \alpha \gamma[/math].


Пусть [math]\beta = \underline{abr}acadabra[/math], тогда [math]\alpha = abr[/math] — префикс [math]\beta[/math].


Определение:
Суффикс (англ. suffix) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \beta = \gamma \alpha [/math].


Пусть [math]\beta = abracada\underline{bra}[/math], тогда [math]\alpha = bra[/math] — суффикс [math]\beta[/math].


Определение:
Бордер (англ. circumfix) строки [math]\beta[/math] — строка [math]\alpha : \beta = \gamma \alpha = \alpha \eta[/math].


Пусть [math]\beta = \underline{abra}cad\underline{abra}[/math], тогда [math]\alpha = abra[/math] — бордер [math]\beta[/math].


Определение:
[math]\alpha[i][/math] — символ строки [math]\alpha[/math], находящийся на [math]i[/math]-ой позиции.


Пусть [math]\beta = cacao[/math], тогда [math]\beta[1] = c, \beta[4] = a [/math].


Определение:
Период (англ. period) строки [math]\alpha[/math] — число [math]p : \forall i = 1 \ldots |\alpha| - p, \alpha [i] = \alpha[i + p][/math].


Пусть [math]\alpha = acaacaa[/math], тогда [math]p = 3[/math] — период строки [math]\alpha = acaacaa[/math].


Утверждение:
Пусть известна строка [math]\tau[/math] — период [math]\alpha[/math] и [math]|\alpha|[/math], тогда можно восстановить всю строку [math]\alpha[/math].
[math]\triangleright[/math]

Из определения периода строки следует, что [math]\alpha[1 \dots |\tau|] = \alpha[|\tau| + 1 \dots 2 \cdot |\tau|] = \dots = \alpha[|\tau| \cdot (k - 1) + 1 \dots |\tau| \cdot k] [/math], где [math]k = [/math] [math]\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor[/math].

Таким образом [math]\alpha = [/math][math]\sum \limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{|\alpha|}{|\tau|} \right\rfloor}[/math][math] \tau + \tau[1 \dots |\alpha| \bmod |\tau|][/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Строка [math]\alpha \neq \varepsilon[/math] c периодом [math]p \neq |\alpha|[/math], называется сильнопериодической, если [math]|\alpha| \bmod p = 0[/math].


Строка [math]\alpha = acaacaaca[/math] является сильнопериодической с периодом [math]p = 3[/math].


Определение:
Подстрока (англ. substring) — некоторая непустая подпоследовательность подряд идущих символов строки.


Пусть [math]\beta = abr\underline{aca}dabra[/math], тогда [math]\alpha = aca[/math] — подстрока строки [math]\beta[/math].


Определение:
Тандемным повтором (англ. repetition) называется непустая строка вида [math]\alpha\alpha[/math].


Определение:
Палиндромом (англ. Palindrome) называется строка вида [math]\alpha\overline{\alpha}[/math] или [math]\alpha c\overline{\alpha}[/math], где [math]\overline{\alpha}[/math] — развернутая строка [math]\alpha[/math], [math]c[/math] — любой символ.


Определение:
Строка [math]\alpha[/math] лексикографически меньше строки [math]\beta[/math] ([math]\alpha \lt \beta[/math]), если

1. [math]\alpha[/math] — префикс [math]\beta[/math]

или

2. [math] \mathcal \exists k : k \leqslant \min(|\alpha|, |\beta|) [/math] и [math] \alpha[k] \lt \beta[k] [/math], при этом [math] \mathcal \forall j \lt k : \alpha_j = \beta_j [/math]


Строка [math]\alpha = aca \lt \beta = acaaba[/math], так как является префиксом [math]\beta[/math].

Строка [math]\alpha = acaa \lt \beta = acab[/math], так как [math]a \lt b[/math].

Формальные языки[править]

Определение:
Язык (англ. language) над алфавитом [math]\Sigma[/math] — некоторое подмножество [math]\Sigma^*[/math]. Иногда такие языки называют формальными (англ. formal), чтобы подчеркнуть отличие от языков в привычном смысле.

Отметим, что язык в [math]\Sigma[/math] не обязательно должен содержать цепочки, в которые входят все символы [math]\Sigma[/math]. Поэтому, если известно, что [math]L[/math] является языком над [math]\Sigma[/math], то можно утверждать, что [math]L[/math] — это язык над любым алфавитом, являющимся надмножеством [math]\Sigma[/math].

Операции над языками[править]

Пусть [math]L[/math] и [math]M[/math] — языки. Тогда над ними можно определить следующие операции.

  1. Теоретико-множественные операции:
    • [math]L \cup M[/math] — объединение,
    • [math]L \cap M [/math] — пересечение,
    • [math]L \setminus M[/math] — разность,
    • [math]\overline{L}=\Sigma^* \setminus L[/math] — дополнение.
  2. Конкатенация: [math]LM=\left\{\alpha\beta|\alpha \in L, \beta \in M\right\}[/math].
  3. Конкатенация с обратным языком: [math]LR^{-1} = \{ w \mid \exists y \in R : wy \in L\}[/math]; конкатенация с обратным словом: [math]Ly^{-1} = L\{y\}^{-1}, y \in \Sigma^*[/math].
  4. Степень языка: [math]L^k=\begin{cases} \{\varepsilon\}, k = 0\\ LL^{k-1}, k \gt 0. \end{cases} [/math]
  5. Замыкание Клини: [math]L^*=\bigcup\limits_{i=0}^{\infty}L^i[/math].
  6. Гомоморфизм

Примеры[править]

  • [math](\{0\}^*) \cup (\{1\}^*)[/math] — язык состоит из последовательностей нулей, последовательностей единиц и пустой строки.
  • [math](\{0\}\{0\}^*) \cup (\{1\}\{1\}^*)[/math] — аналогично предыдущему, но не содержит пустую строку.
  • [math](\{0\} \cup \{1\})^* = \{0, 1\}^*[/math] — содержит все двоичные векторы и пустую строку.
  • Если [math]L_p[/math] — язык десятичных представлений всех простых чисел, то язык [math](L_p \setminus (\{3\}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}^*)) \ \ [/math] будет содержать десятичные представления простых чисел, не начинающихся с тройки.
  • [math]\{\mathrm{ab, ba, bba, abab, aa}\}a^{-1} = \{\mathrm{b, bb, a}\}[/math].

Гомоморфизм языков[править]

Определение:
Пусть даны два алфавита [math]\Sigma_1, \Sigma_2[/math]. Гомоморфизмом называется такое отображение [math] \varphi \colon \Sigma_{1}^{*} \to \Sigma_{2}^{*}[/math], что:
  • [math]\varphi(\varepsilon) = \varepsilon[/math], то есть сохраняет пустую строку
  • [math]\forall w_1, w_2 \in \Sigma_1^*: \varphi(w_1w_2) = \varphi(w_1)\varphi(w_2)[/math], то есть сохраняет конкатенацию


Определение:
Образом языка [math]L \subset \Sigma_1^* [/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*[/math] (иногда называют прямым гомоморфизмом) называется язык [math]M = \varphi(L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ \varphi(x) \mid x \in L \}[/math].
Заметим, что [math]\varphi[/math] будет гомоморфизмом моноидов [math]\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle[/math] и [math]\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle[/math]


Определение:
Прообразом языка [math]M \subset \Sigma_2^*[/math] при гомоморфизме [math]\varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*[/math] (иногда называют обратным гомоморфизмом) называется язык [math]L = \varphi^{-1}(M) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \{ x \mid \varphi(x) \in M \}[/math].
Заметим, что [math]\varphi[/math] будет гомоморфизмом моноидов [math]\langle L, \cdot, \varepsilon \rangle[/math] и [math]\langle M, \cdot, \varepsilon \rangle[/math]


Примеры[править]

  • тривиальные гомоморфизмы
    • обнуляющий: [math] \varphi(x) = \varepsilon, x \in L [/math], тогда [math] \varphi(L) = \{ \varepsilon \} [/math]
    • тождественный: [math] \varphi(x) = x, x \in L [/math], тогда [math] \varphi(L) = L [/math] и [math] \varphi^{-1}(L) = L[/math]
  • гомоморфизм цепочек — функция, подставляющая некоторую строку вместо каждого символа. Более формально, для заданного отображения [math] h\colon \Sigma_1 \to \Sigma_1^* [/math] гомоморфизмом цепочек будет функция [math] \varphi: \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* [/math], действующая от каждого символа строки из языка следующим образом [math] \varphi(\overline{c_1 c_2 ... c_n}) = h(c_1)h(c_2) ... h(c_k) [/math]. Регулярные языки замкнуты относительно гомоморфизма цепочек
  • солнечный язык из детских игр (когда после каждой гласной в слове надо добавлять букву "С" и эту же гласную) может быть представлен в виде гомоморфизма языков, где все согласные символы отображаются сами в себя, а гласный символ [math] z [/math] переходит в [math] zCz [/math]
  • циклический гомоморфизм: зафиксируем порядок символов в алфавите, будем отображать каждый символ в следующий, а последний — в первый. Обратным гомоморфизмом будет отображение каждого символа в предыдущий.

См. также[править]

Источники информации[править]