Изменения

{{Определение|definition ==Пороговая Булева функция<tex>f(A_1,A_2,\ldots,A_n)</tex> называется '''пороговой''' (англ. ''threshold function''), если ее можно представить в виде <tex>f(A_1,A_2,\ldots,A_n) =[\sum\limits_{i=1}^n A_i a_i \geqslant T]</tex>, где <tex>a_i</tex> {{---}} '''вес''' (англ. ''weight'') аргумента <tex>A_i</tex>, а <tex>T</tex> {{---}} '''порог''' (англ. ''threshold'') функции <tex>f</tex>; <tex>a_i, T \in R</tex>}}

Пусть даны <tex>n</tex> логических аргументов <tex>A_1,A_2,...,A_n</tex>. Поставим Обычно пороговую функцию записывают в соответствие этим аргументам натуральны числа следующим виде: <tex>f = [a_1,a_2,...a_3,a_n</tex>, называемые весами, и зададим некоторое неотрицательное число <tex>T</tex>\ldots, которое будем называть порогом. Условимся считать, что если на каком-либо наборе <tex>A_1 a_1+A_2 a_2+...+A_n a_n=\sum_{i=1}^n A_i a_i>;T]</tex>, где знак <tex>"+"</tex> обозначает арифметическое сложение, то булева функция <tex>f(A_1,A_2,...,A_n)</tex> принимает единичное значение на этом наборе. Если же на коком-либо наборе <tex>\sum_{i=1}^n A_i a_i \le T</tex>, то функция <tex>f(A_1,A_2,...,A_n)</tex> на этом наборе принимает нулевое значение. Функцию, представленную описанным способом, будем называть '''пороговой функцией'''.

== Пример ==  Рассмотрим функцию трёх аргументов <tex>f(A_1,A_2,A_3)=[3,4,6;5]</tex>.Согласно этой записи имеем:<tex>a_1=3; a_2=4; a_3=6; T=5</tex>.Все наборы значений аргументов <tex>A_1, A_2, A_3</tex>, на которых функция принимает единичное (либо нулевое) значение, можно получить из соотношения вида <tex>3A_1+4A_2+6A_3 \geqslant 5</tex>. :Если <tex>A_1=0,A_2=0,A_3=0</tex>, то <tex>0<5 \Rightarrow f=0</tex>. :Если <tex>A_1=0,A_2=0,A_3=1</tex>, то <tex>6 \geqslant 5 \Rightarrow f=1</tex>. :Если <tex>A_1=0,A_2=1,A_3=0</tex>, то <tex>4<5 \Rightarrow f=0</tex>.:Если <tex>A_1=0,A_2=1,A_3=1</tex>, то <tex>10 \geqslant 5 \Rightarrow f=1</tex>. :Если <tex>A_1=1,A_2=0,A_3=0</tex>, то <tex>3<5 \Rightarrow f=0</tex>. :Если <tex>A_1=1,A_2=0,A_3=1</tex>, то <tex>9 \geqslant 5 \Rightarrow f=1</tex>.:Если <tex>A_1=1,A_2=1,A_3=0</tex>, то <tex>7 \geqslant 5 \Rightarrow f=1</tex>.:Если <tex>A_1=1,A_2=1,A_3=1</tex>, то <tex>13 \geqslant 5 \Rightarrow f=1</tex>. Таким образом, заданная функция принимает единичное значение на наборах <tex>001</tex>, <tex>011</tex>, <tex>101</tex>, <tex>110</tex>, <tex>111</tex>. Её [[Сокращенная и минимальная ДНФ|минимальная форма]] имеет вид :<tex>f=A_1 A_2 + A_3</tex>.  {{Утверждение|statement=Для всякой пороговой функции справедливо:<tex>[a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;T]=[ka_1,ka_2,ka_3,\ldots,ka_n;kT]</tex>,где <tex>k</tex> — положительное вещественное число.|proof=Чтобы убедиться в этом достаточно записать: <tex>ka_1 A_1+ka_2 A_2+\ldots+ka_n A_n \geqslant kT</tex>: <tex>ka_1 A_1+ka_2 A_2+\ldots+ka_n A_n < kT</tex>и разделить обе части неравенства на <tex>k</tex>.}} == Примеры пороговых функций == Примерами пороговых функций служат функции <tex> \operatorname{AND} </tex> и <tex> \operatorname{OR} </tex>. Представим функцию <tex> \operatorname{AND} </tex> в виде <tex>[1,1;2]</tex>.Докажем, что это именно пороговая функция, подставив все возможные значения аргументов::<tex>A_1=0,A_2=0</tex>, то <tex>0<2 \Rightarrow f=0</tex>. :<tex>A_1=0,A_2=1</tex>, то <tex>1<2 \Rightarrow f=0</tex>. :<tex>A_1=1,A_2=0</tex>, то <tex>1<2 \Rightarrow f=0</tex>.:<tex>A_1=1,A_2=1</tex>, то <tex>2 \geqslant 2 \Rightarrow f=1</tex>.Таблица значений совпадает с таблицей истинности функции <tex> \operatorname{AND} </tex>, следовательно <tex> \operatorname{AND} </tex> {{---}} пороговая функция. Функцию <tex> \operatorname{OR} </tex> представим в виде <tex>[1,1;1]</tex>.Аналогично докажем, что это пороговая функция::<tex>A_1=0,A_2=0</tex>, то <tex>0<1 \Rightarrow f=0</tex>. :<tex>A_1=0,A_2=1</tex>, то <tex>1 \geqslant 1 \Rightarrow f=1</tex>. :<tex>A_1=1,A_2=0</tex>, то <tex>1 \geqslant 1 \Rightarrow f=1</tex>.:<tex>A_1=1,A_2=1</tex>, то <tex>2 \geqslant 1 \Rightarrow f=1</tex>.Таблица значений совпадает с таблицей истинности функции <tex> \operatorname{OR} </tex>, следовательно <tex> \operatorname{OR} </tex> {{---}} пороговая функция. == Пример непороговой функции =={{Утверждение|statement=Функция <tex> \operatorname{XOR} </tex> {{---}} непороговая.|proof=Предположим, что <tex> \operatorname{XOR} </tex> {{---}} пороговая функция. При аргументах <tex>(0, 0)</tex> значение функции <tex> \operatorname{XOR} </tex> равно <tex>0</tex>. Тогда по определению пороговой функции неравенство <tex>A_1 x_1+A_2 x_2 \geqslant T</tex> не должно выполняться. Подставляя значение аргументов, получаем, что <tex>T>0</tex>. При аргументах <tex>(0, 1)</tex> и <tex>(1, 0)</tex> значение функции <tex> \operatorname{XOR} </tex> равно <tex>1</tex>. Тогда по определению выполняется неравенство <tex>A_1 x_1+A_2 x_2 \geqslant T</tex>, подставляя в которое значения соответствующих аргументов, получаем <tex>A_1 \geqslant T, A_2 \geqslant T</tex>. Отсюда следует, что <tex>A_1>0, A_2>0</tex> и <tex>A_1+A_2 \geqslant 2T</tex>. При аргументах <tex>(1, 1)</tex> значение функции <tex> \operatorname{XOR} </tex> равно 0, следовательно неравенство <tex>A_1 x_1+A_2 x_2 \geqslant T</tex> выполняться не должно, то есть <tex>A_1+A_2 < T</tex>. Но неравенства <tex>A_1+A_2 \geqslant 2T</tex> и <tex>A_1+A_2 < T</tex> при положительных <tex>A_1,A_2</tex> и <tex>T</tex> одновременно выполняться не могут. Получили противоречие, следовательно, функция <tex> \operatorname{XOR} </tex> {{---}} непороговая.}} == Значимость пороговых функций == Пороговые функции алгебры логики представляют интерес в связи с простотой технической реализации, в связи со своими вычислительными возможностями, а также благодаря возможности их обучения. Последнее свойство с успехом применяется на практике при решении плохо формализуемых задач. Пороговые функции применяются в качестве передаточных функций в искусственных нейронах, из которых состоят искусственные нейронные сети. А так как искусственный нейрон полностью характеризуется своей передаточной функцией, то пороговые функции являются математической моделью нейронов. == См. также ==* [[Определение_булевой_функции|Булевы функции]]* [[Полные_системы_функций._Теорема_Поста_о_полной_системе_функций#.D0.97.D0.B0.D0.BC.D0.BA.D0.BD.D1.83.D1.82.D1.8B.D0.B5_.D0.BA.D0.BB.D0.B0.D1.81.D1.81.D1.8B_.D0.B1.D1.83.D0.BB.D0.B5.D0.B2.D1.8B.D1.85_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B9|Замкнутые классы булевых функций]] == Источники информации == * [http://www.simvol.biz/uploadfiles/File/sostav/books/Diskret_mat1.pdf пороговая Пороговая функция]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Искусственный_нейрон Википедия — Искусственный нейрон] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Булевы функции ]]