Представление чисел с плавающей точкой

Материал из Викиконспекты
Версия от 03:14, 17 октября 2011; Андрей Козлов (обсуждение | вклад) (Свойства чисел с плавающей точкой)
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья находится в разработке!

Плавающая точка

Определение:
Плавающая точка (floating point) - метод представления действительных чисел, при котором число хранится в виде мантиссы и показателя степени.

Представление чисел с плавающей точкой рассмотрим на примере чисел двойной точности (double precision). Такие числа занимают в памяти два машинных слова (8 байт на 32-битных системах). Наиболее распространенное представление описано в стандарте IEEE 754.

Числа двойной точности

Число с плавающей точкой хранится в нормализованной форме и состоит из трех частей (в скобках указано количество бит, отводимых на каждую секцию в формате double):

  1. знак (1)
  2. экспонента (показатель степени) (11)
  3. мантисса (52)

В качестве базы (основания степени) используется число 2.

TODO: Вставить картинку, когда можно будет загрузить файл


Определение:
Нормализованной называется форма представления числа, при которой мантисса двоичного числа [math] mant [/math] лежит в диапазоне [math] [1, 2) [/math].


Утверждение:
Итоговое значение числа вычисляется по формуле:
[math] x = (-1)^{sign} \times (1.mant) \times 2^{exp} [/math]

Свойства чисел с плавающей точкой

  1. В нормализованном виде любое отличное от нуля число представимо в единственном виде. Недостатком такой записи является тот факт, что невозможно представить число 0.
  2. Так как старший бит двоичного числа, записанного в нормализованной форме, всегда равен 1, его можно опустить. Это используется в стандарте IEEE 754.
  3. В отличие от целочисленных стандартов (например, integer), имеющих равномерное распределение на всем множестве значений, числа с плавающей точкой (double, например) имеют квазиравномерное распределение.
  4. В следствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).
  5. Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой. Точно в таком виде представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53).

Машинная эпсилон

Определение:
Машинная эпсилон - наименьшее положительное число [math] \varepsilon [/math], такое что, [math] 1 \oplus \varepsilon = 1 [/math], где [math] \oplus [/math] - машинное сложение.


Погрешность предиката "левый поворот"

Ссылки

en.wikipedia.org Floating point
en.wikipedia.org Double precision floating point format
Goldberg, D. 1991 What every computer scientist should know about floating-point arithmetic