Преобразование Адамара

Преобразование Адамара H (Hadamar) - унитарный оператор, действующий на кубит по правилу:
[math]\hat{H}|0\rangle = \frac {1} {\sqrt2} |0\rangle + \frac {1} {\sqrt2} |1\rangle[/math]
[math]\hat{H}|1\rangle = \frac {1} {\sqrt2} |0\rangle - \frac {1} {\sqrt2} |1\rangle[/math]

Для входного вектора преобразование выдаст следующее:
[math]\hat{H}|\psi\rangle = \hat{H}(\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle) = \frac {1} {\sqrt2} (\alpha + \beta) |0\rangle + \frac {1} {\sqrt2} (\alpha - \beta) |1\rangle[/math]

Элемент Адамара задается матрицей:
[math] H = \frac {1} {\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} [/math]

Если преобразование Адамара применить два раза, то получится исходное состояние.

Если представлять состояние квантового кубита как точку на окружности, то преобразование Адамара равносильно симметричному относительно луча под углом [math] \pi/8 [/math] отражению точки.

Заметим, что если применить преобразование Адамара к каждому кубиту [math]m[/math]-кубитовой системы, то для каждого [math] x \in \{0,1\}^{m} [/math] система [math] |x\rangle [/math] перейдет в

[math] (|0\rangle+(-1)^{ x_{1} }|1\rangle)(|0\rangle+(-1)^{x_{2} }|1\rangle)...(|0\rangle+(-1)^{x_{m} }|1\rangle) = \sum \limits_{y \in \{0,1\}^{m} } ( \prod \limits_{i : y^{i} = 1} (-1)^{x_{i} }) = \sum \limits_{y \in \{0,1\}^{m} } -1^{x \land y}|y\rangle [/math].