Изменения

В математике '''убывающим факториалом''' (англ. ''falling factorial'') (иногда называется '''нисходящим факториалом''',<ref name="Steffensen" /> '''постепенно убывающим факториалом''' или '''нижним факториалом''') обозначают:

'''Растущий факториал''' (англ. ''rising factorial'') (иногда называется '''функцией Похгаммера''', '''многочленом Похгаммера''', '''восходящим факториалом''',<ref name="Steffensen">Steffensen, J. F., Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)</ref> '''постепенно растущим произведением''' или '''верхним факториалом''') определяется следующей формулой:

'''Символ Похгаммера''' введен Лео Августом Похгаммером в записи <tex>(x)^n</tex>, где <tex>n</tex> неотрицательное целое число. В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал. Поэтому при чтении любой статьи необходимо обратить внимание на то, какой именно из двух факториалов имеется в виду. Сам Лео Август Похгаммер для себя использовал <tex>(x)^n</tex> в другом смысле - для обозначения биномиального коэффициента <tex>\tbinom xn</tex>.<ref name="Knuth">Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", American Mathematical Monthly, 99 (5): 403–422, arXiv:math/9205211 Freely accessible, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.</ref>

В этой статье Когда <tex>(x)_n</tex> означает убывающий факториал и неотрицательное целое число, <tex>(x)^n_n</tex> - растущий факториал. Такое же обозначение используется в комбинаторике.<ref>Olver, Peter J. (1999), Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2, равняется числу [https://mathscineten.amswikipedia.org/mathscinet-getitem?mr=1694364 MR 1694364]<wiki/ref> Когда <tex>x</tex> неотрицательное целое число, <tex>(x)_n</tex> равняется числу [[wikipedia:Injective function|Injective_function инъективных отображений]] из множества с <tex>n</tex> элементами во множество из <tex>x</tex> элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения <tex>_x P_n</tex> и <tex>P(x,n)</tex>. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где <tex>x</tex> {{--- }} переменная, то есть <tex>(x)_n</tex> есть ни что иное как многочлен степени <tex>n</tex> от <tex>x</tex>.

[[File:PlotThePochhammerSymbolExampleRisingFactorial.pnggif|560px401px|thumb|upright|График убывающего растущего факториала для n от 0 до 4]]

Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом [[wikipedia:Lah number|числами Лаха]] и суммами для интегральных степеней переменной <tex dpi=150>x</tex> с привлечением [[Числа Стирлинга второго рода|чисел Стирлинга второго рода]] в следующих формах, в которых <tex dpi=150>\binom{r}{k} = \frac{r^{\underline{k}} / }{k!}</tex>:

:<tex dpi=150> x^{\underline{n}} = (-1)^n (-x)_n ^n = (x-n+1)_n = \frac{1}{(x+1)^{\overline{-n}}} </tex>:<tex dpi=150> (x)_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (n-1)^{\underline{n-k}} \times x^{\underline{k}} </tex>:<tex dpi=150> = (-1)^n (-x)^{\underline{n}} = (x+n-1)^{\underline{n}} = \frac{1}{(x-1)^{\underline{-n}}} </tex>

Так как убывающие факториалы {{- --}} базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:

:<tex dpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x+i)_{n-i},\ n \geq geqslant i. </tex>

:<tex>x^{\overline{m}}=\overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0geqslant0,</tex>

:<tex>x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0geqslant0;</tex>использовались А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно.<refname=Knuth>According to Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.</ref> Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book ''Concrete Mathematics'' (1988), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, pp.&nbsp;47,48</ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно.

Обобщенный символ Похгаммера называется [[https://en.wikipedia:Generalized Pochhammer symbol|.org/wiki/Generalized_Pochhammer_symbol обобщённый символ Похгаммера]], используемый в многомерном математическом анализе. Также существует [[https://en.wikipedia:q.org/wiki/Q-Pochhammer symbol|analog ''q''-аналог]] {{---}} [[https://en.wikipedia:q.org/wiki/Q-Pochhammer symbol|Pochhammer_symbol ''q''-Похгаммер символ]].

:<texdpi=150>[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),</tex>

где :<tex>-h</tex> декремент и :<tex>k</tex> число факторов. Соответствующее обобщения растущего факториала:

:<texdpi=150>[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).</tex>

Эта запись объединяет растущий и убывающий факториалы, которые <tex dpi=150>[''x'']<sup>''^{k''/1}]</suptex> и <tex dpi=150> and [''x'']<sup>''^{k''/&minus;-1}]</suptex> соответственно.

:<texdpi=150>(x)_{n,f,t} := \prod_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)</tex>