304
правки
Изменения
м
Нет описания правки
{{В разработке}}
== Определение ==
Пусть имеется [[Отображения|функция]] <tex>y = f(x)</tex>, заданная на <tex>[a; b]</tex>. Требуется найти функцию <tex>F(x)</tex>, такую, что <tex>F'(x) = f(x) \forall v \in [a; b]</tex>. Любая такая функция называется первообразной <tex>f</tex>.
:<tex>\left ( \int f(x) dx \right )' = f(x)</tex>
:<tex>\int f'(x)dx = f(x)</tex>
== Формулы ==
Имеются две стандартные формулы для неопределённых интегралов.
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
== Условия интегрируемости ==
Каким условиям должна удовлетворять функция <tex>f</tex>, чтобы у неё существовала первообразная?
Развивая теорию Римана, мы получим, что если <tex>f</tex> непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, то у неё существует неопределённый интеграл.
Условие долстаточное, и не описывает все функции, у которых существует первообразная, например:
:<tex>f(x) = \begin{cases}0 & x = 0\\ x^2 \sin \frac 1x & x \ne 0\end{cases}</tex>
:<tex>f'(x) = 2x \sin \frac 1x - \cos \frac 1 x, \qquad x \ne 0</tex>
:<tex>f'(0) = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac {f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \Delta x \sin \frac 1 {\Delta x} = 0</tex>
Получаем производную, разрывную в нуле. Но у этой функции существует первообразная, равная <tex>f</tex>.
Для установления точных условий интегрируемости интеграла Римана мало, для этого требуется понятие ингерала Лебега.
