Изменения

'''Список с пропусками''' (англ. ''skip list'') — вероятностная структура данных, позволяющая в среднем за <tex>O(\log(n))</tex> времени выполнять операции добавления, удаления и поиска элементов.

Структура данных основана Список с пропусками состоит из нескольких уровней, на многоуровневом связном отсортированном спискекаждом из которых находится отсортированный связный список. На самом нижнем (первом) уровне располагаются все элементы в отсортированном порядке. Дальше почти половина около половины элементов таким в таком же образом порядке располагаются на втором, почти четверть <tex>-</tex> — на третьем и так далее, но при этом известно, что если элемент расположен на уровне <tex>i</tex>-ом уровне, то он также расположен на <tex>(i-1)</tex>-омвсех уровнях, номера которых меньше <tex>(i-2)</tex>-ом и более низких уровнях.

Список с пропусками строится на основе существующего односвязного отсортированного списка[[Файл:SimpleList.png|thumb|600px|Односвязный отсортированный список]]

[[Файл:SimpleListSkipList.png|thumb|600px|Получившийся список с пропусками]]Допустим, что нам задан односвязный отсортированный список и мы хотим построить на его основе список с пропусками, позволяющий в среднем за <tex>O(\log{n})</tex> времени выполнять операции добавления, удаления и поиска элементов.

Добавив дополнительные уровниНа самом нижнем уровне списка с пропусками мы расположим исходный список. На втором уровне — всё элементы с чётными номерами, причём каждый из которых представляет предыдущий элемент будет ссылаться на соответствующий ему элемент на нижнем уровне. Таким же образом построим и третий уровень без нечетных элементов, мы получим возможность осуществлять поисккуда будем добавлять только те элементы, вставку номера которых кратны четырём. Аналогичным образом построим и удаление элементов подобно операциям с двоичным деревом поиска. Соответственно, асимптотика этих операций будет составлять <tex>O(\log(n))</tex>последующие уровни.

[[Файл====Псевдокод==== Каждый уровень списка с пропусками содержит отсортированный односвязный список, у которого есть начало <tex>\mathtt{head} \ </tex> и конец <tex>\mathtt{tail}</tex>. Для выполнения операций на списке с пропусками необходимо передавать в качестве аргумента ссылку на начало односвязного списка, расположенного на самом верхнем уровне. Элементы односвязного списка — вершины <tex>\mathtt{node}</tex>, у которых есть <tex>3</tex> поля:* <tex>\mathtt{next}</tex> — ссылка на следующий элемент списка на данном уровне* <tex>\mathtt{key}</tex> — ключ, который хранится в данной вершине* <tex>\mathtt{down}</tex> — ссылка на соответственный элемент, лежащий уровнем ниже  '''struct''' node: '''node''' next, down '''K''' key Также известно, что <tex>\mathtt{head{.}key} = -\infty \ </tex> и <tex>\mathtt{tail{.}key} = \infty</tex>,  Функция <tex>\ \mathtt{build\_lvl} \ </tex> возвращает новый уровень списка с пропусками на основе предыдущего построенного уровня.  '''list''' build_lvl('''list''' lvl) '''list''' next_lvl next_lvl.head.down = lvl.head next_lvl.tail.down = lvl.tail '''node''' i = lvl.head.next.next '''node''' cur = next_lvl.head '''while''' i <tex>\neq</tex> ''null'' '''and''' i.next <tex>\neq</tex> ''null'' cur.next = node(key, i, cur.next) <font color=darkgreen>// Конструктор node(key, down, next) возвращает новую вершину с ключом key, ссылками down на нижний и next на следующий элемент</font> cur = cur.next i = i.next.next <font color=darkgreen>// Переход к следующему чётному элементу</font> '''return''' next_lvl  Функция <tex>\ \mathtt{skip\_list} \ </tex> принимает в качестве аргумента односвязный отсортированный список и возвращает новый список с пропусками, построенный на его основе.  '''list''' skip_list('''list''' l):SkipList '''list''' lvl <font color=darkgreen>// Построение первого уровня</font> '''node''' i = l.head '''node''' j = lvl.head '''while''' j <tex>\neq</tex> l.tail i.next = node(j.key, ''null'', j.next) i = i.next j = j.next '''while''' lvl.png]]size > 2 lvl = build_lvl(lvl) '''return''' lvl <font color=darkgreen>// Возвращает ссылку на начало верхнего уровня</font>

Допустим, что Алгоритм поиска элемента в нашем списке с пропусками существуют состоит из следующих операций:# Начинаем поиск элемента в самом верхнем уровне# Переходим к следующему элементу списка, пока значение в следующей ячейке меньше# Переместимся на один уровень вниз и перейти к шагу <tex>k2</tex> уровней. Если мы уже на первом уровне — прекратим поиск и вернём ссылку на текущую вершину В конце алгоритма функция вернёт элемент, при этом первым уровнем (значение которого не меньше ключа <tex>L_1\mathtt{key}</tex>) будет исходный списокили ссылку на конец списка на первом уровне.

В таком Если в качестве случайного источника мы будем использовать честную монету, то в среднем случае алгоритм поиска в этой структуре будет представлять из себя следующие операции:# Начинаем поиск элемента в верхнем списке (<tex>L_k\log{n}</tex>), рассмотрим первый элемент# Переходить к следующему элементу списка, пока значение уровне. На самом верхнем уровне будет не более двух элементов. Тогда на каждом уровне в среднем нужно проверить не более двух элементов (в следующей ячейке меньше или равно ключу# Переместиться на противном случае могли бы вместо двух нижних элементов проверить ещё один уровень вниз и перейти к пункту 2уровнем выше). Если рассматриваемый элемент находится же у нас будет <tex>k</tex> уровней, тогда на нижнем каждом уровне в среднем будет в <tex>n^{1/k}</tex> раз элементов больше, чем уровнем выше. В таком случае время поиска элемента <tex>- выйти из поиска</tex> <tex>O(k \cdot n^{1/k})</tex>.

[[Файл:SkipListSearchФункция <tex>\mathtt{find}</tex> возвращает ссылку на элемент, значение которого не меньше <tex>\mathtt{key}</tex>.png]]В случае, если все элементы в списке с пропусками меньше <tex>\mathtt{key}</tex>, то возвращается ссылка на конец списка с пропусками. '''T''' find('''node''' res, '''K''' key) '''while''' res.key < key res = res.next '''if''' res.down = ''null'' <font color=darkgreen>// Если мы находимся на первом уровне</font> '''return''' res <font color=darkgreen>// Мы нашли искомый элемент</font> '''return''' find(res.down, key) <font color=darkgreen>// Иначе спустимся на один уровень ниже</font>

Рассмотрим время работы для списка Для того, чтобы найти элемент с ключом <tex>\mathtt{key}</tex> в списке с двумя уровнями.Тогда время работы алгоритма поиска будет зависеть от количества элементов на уровне пропусками <tex>L_2\mathtt{skip}</tex>. Представим, что на этот уровень у нас случайным необходимо запустить <tex>\mathtt{find}</tex> следующим образом попало несколько элементов. Следовательно в худшем случае поиска мы получим следующую оценку на время работы:

Минимизируя, ===Вставка элемента===Алгоритм вставки элементов в список с пропусками состоит из следующих шагов:# Начинаем вставку на самом верхнем уровне# Переходим к следующему элементу списка пока значение следующей ячейки меньше ключа.# Если мы получаем, что на первом уровне — вставляем элемент. Иначе спускаемся ниже и возвращаемся к шагу <tex>\vert L_2 \vert ^ 2 = n</tex>. Если нам вернули не ''null'' — вставляем элемент на текущем уровне тоже.# Кидаем монетку и если выпал «Орёл», то возвращаем ссылку на текущий элемент, иначе — ''null''. Если мы были не на первом уровне и нам вернули ''null'' — возвращаем его без броска монетки.

В итоге время за которое мы найдем Отдельно стоит обработать случай, когда вставка нового элемента увеличивает число уровней. Тогда необходимо создать ещё один отсортированный список, в котором будет всего один текущий элемент в списке , и не забыть присвоить списку с пропусками с двумя уровнями будет равняться:новую ссылку на верхний уровень. Будем считать, что вставка каждого нового элемента увеличивает число уровней не более чем на один.

Заметим, что вставка элемента <tex> -</tex> поиск элемента и за <tex>O(1)</tex> добавляем не более, чем в <tex>k</tex> уровней элемент. Итого время работы <tex>O(k \sqrt{cdot n} + \dfrac^{n}{\sqrt{n}} = 2 \sqrt{n1/k})</tex>.

Также можно убедиться, что список с пропусками, имеющий <tex>k</tex> уровней, будет лучше всего работать с <tex dpi=150>\sqrt[k]{n} </tex> элементами на уровне; время работы такого списка будет равно <tex dpi=150>k \sqrt[k]{n} </tex>.==Псевдокод====Для Функция <tex>\log_2mathtt{ninsert}\ </tex> уровней же время работы составит возвращаем ссылку на вставленный элемент в списке, в котором находится <tex dpi=150> \log_2{n} \cdot \sqrt[\log_2{n}]{n} = n ^ {\frac{1}{log_2{n}}} \cdot \log_2{n} = n ^ {\log_n{2}} \cdot \log_2{n} = 2\log_2mathtt{nres}</tex>, или ''null'', если на монете выпала «Решка».

'''node''' insert('''node''' res, '''K''' key) '''while''' res.next <tex>\neq</tex> ''null'' '''and''' res.next.key < key res =res.next '''node''' down_node '''if''' res.down =''null'' down_node =Вставка элемента''null'' '''else''' down_node =insert(res.down, key) '''if''' down_node <tex>\neq</tex> ''null'' '''or''' res.down =''null'' <font color=darkgreen>// Если выпал «Орёл» или мы находимся на первом уровне</font>Для вставки элемента в список с пропусками res.next = node(key, нам необходимо выполнить следующие шаги:down_node, res.next)# Найти с помощью алгоритма поиска позицию, куда нам надо вставить этот элемент '''if''' coin_flip() = ''head'' <font color=darkgreen>// Если выпал «Орёл»</font># Вставить наш элемент в нижний уровень списка с пропусками '''return''' res.next# «Подбросить монетку» и в зависимости от результата протолкнуть элемент на уровень выше '''return''' ''null''# Повторять предыдущий шаг до тех пор, пока у нас «подброс монетки» дает положительный результат '''return''' ''null''

Таким образомДля того, если использовать честную монету, то математическое ожидание количества элементов на втором уровне равняется <tex>\dfrac{n}{2}</tex>, на третьем уровне <tex>\dfrac{n}{4}</tex> и т.д. На уровне <tex>\log{n}</tex> у нас окажется один чтобы вставить элемент. Ну и соответственно вероятности попасть элементу на второй уровень — это с ключом <tex>\dfrac{1}mathtt{2key}</tex>, на третий в список с пропусками <tex>\dfrac{1}{4}</tex> и т.д. Вероятность попасть на уровень <tex>\log{n}</tex> равна <tex>\dfrac{1}mathtt{nskip}</tex>.необходимо вызвать следующую функцию

Используя монетку с распределением отличным от <tex>\{\dfrac{1}{2}</tex> '''function''' insert_element('''list''' skip, <tex>\dfrac{1}{2}\}</tex>, можно влиять на количество элементов на верхних уровнях'''K''' key) '''node''' res = insert(skip. Такhead, например, при использовании монеты с распределением key) '''if''' res <tex>\{p,q\}neq</tex>}, математическое ожидание количества элементов на уровне <tex>l</tex> равно <tex dpi''null'' '''list''' lvl lvl.head.next =150>n q^l</tex>node(key, каждый уровень будет составлять <tex>q</tex> от предыдущего; время поиска будет равно <tex>O(\dfrac{k}{q} + nq^k)</tex>. Соответственно при честной монетке и <tex>\log(n)</tex> уровней получаем оценкуres, полученную ранееlvl.Для крайних распределений:* <tex>\{0, 1\}</tex> {{---}} <tex>O(k+ntail)</tex>* <tex>\{1, 0\}</tex> {{---}} <tex>\infty</tex> (если разрешить добавление новых уровней при проталкивании элемента после броска монетки; иначе <tex>O(n)</tex>) skip = lvl

Алгоритм удаления достаточно тривиален. элемента выглядит следующим образом:# Найти удаляемый Начинаем удалять элементс верхнего уровня# Удалить Переходим к следующему элементу, пока значение следующего элемента меньше ключа# Если элемент существует на данном уровне — удаляем его с этого уровня. Если мы не на первом уровне, то удаляем элемент ещё с нижнего уровня.====Псевдокод====Функция <tex>\mathtt{delete}</tex> удаляет элемент <tex>\mathtt{key}</tex> со всех уровней.  '''function''' delete('''node''' res, '''K''' key) '''while''' res.next <tex>\neq</tex> ''null'' '''and''' res.next.key < key res = res.next '''if''' res.down <tex>\neq</tex> ''null'' delete(res.down, key) '''if''' res.next <tex>\neq</tex> ''null'' '''and''' res.next.key = key res.next = res.next.next Аналогично со вставкой удаление <tex>-</tex> поиск элемента за <tex>O(k \cdot n^{1/k})</tex> плюс удаление на каждом уровне за <tex>O(1)</tex>. Итого <tex>-</tex> <tex>O(k \cdot n^{1/k})</tex>.

==Псевдокод==НаглядныйДля того, но не очень эффективный по памяти вариант чтобы удалить элемент <tex>\mathtt{key}</tex> из списка с пропусками.<tex>\mathtt{skip}</tex>, необходимо вызвать функцию <tex>\mathtt{delete} \ </tex> следующим образом:

В узлах списка хранятся:* <tex>next</tex> {{---}} следующий узел* <tex>down</tex> {{---}} тот же узел на следующем уровне* <tex>data</tex> {{---}} данные типа T* <tex> delete(skip.head, key</tex> {{---}} ключ типа K)

Конструктор==Использование нечестной монеты==Вместо честной монеты с распределением <tex>\left\{\dfrac{1}{2}, \ \dfrac{1}{2}\right\}<code/tex> можно взять в качестве случайного источника нечестную монету с распределением <tex>\{p,q\}</tex> '''list''' skip_list ('''list''' lс вероятностью <tex>p</tex> выпадает «Орёл»): '''list''' lvl = build_lvl. Тогда математическим ожиданием количества элементов на уровне <tex>k</tex> будет <tex>n \cdot p^k</tex>. Время поиска будет равно <tex>O\left(l\dfrac{1}{p} \log_{1/p} {n} \right) <font color=darkgreen/tex> <tex>(</tex>на <tex>i</ Здесь происходит построение первого уровняtex>-ом уровне элементов будет почти в <tex>\dfrac{1}{p}</fonttex> раз больше, чем на <tex> '''while''' lvl.size(i+1) </tex>-ом, значит на каждом уровне пройдём не более <tex> 2 lvl = build_lvl (lvl) \dfrac{1}{p}</tex> элементов, а уровней всего <font color=darkgreentex>\log_{1/p} {n}</ Добавление следующих уровней; последний содержит два элементаtex><tex>)</fonttex> '''return''' t .

'''list''' build_lvl ('''list''' lvl) Пусть у нас добавлено <font color=darkgreentex>// Отсеивание нечётных элементовn</fonttex> '''list''' next_lvl '''node''' i = lvlэлементов.head() Найдём такое распределение <font color=darkgreentex>// Перебор всех элементов lvl\left\{ p, q \right\}</fonttex> '''while''' (i != ''null'') '''and''' (i != lvl.tail()) next_lvl.push_back(node(i.key, i)) при котором функция <font color=darkgreentex>\dfrac{1}{x} \log_{1// Добавление чётного элемента;x} {n}</fonttex> i = i.nextпринимает минимальное значение.next Производная этой функции равна <font color=darkgreentex>-\dfrac{\ln{n} \left( \ln {(1// он содержит ключ и ссылку на предыдущий уровень</font> '''return''' next_lvl </code>Поиск элемента по ключу:<code> '''T''' find ('''list''' skip_list, '''K''' keyx)} - 1 \right) '''node''' res '''for''' }{x^2 \ln^2{(res = skip_list.head; res.ref != ''null''; res = res.ref) <font color=darkgreen>/1/ Cпускаемся на шаг вниз, если можем (п. 3x)}}</font> '''while''' res.key <= key <font color=darkgreentex>// Переходим к следующему элементу (п. 2)При </fonttex> res x = res.next() '''return''' res.data \dfrac{1}{e}</code>Вставка:<codetex> '''node''' insert ('''node''' iпроизводная равна нулю, '''K''' key, '''T''' data) '''while''' i.key <= key <font color=darkgreen>// Ищем подходящее местовторая производная в точке </fonttex> i x_0 = i.next() '''node''' tmp = ''null'' <font color=darkgreen>// Для записи в поле down\dfrac{1}{e}</fonttex> '''if''' i.ref != ''null'' больше <font color=darkgreentex>// Мы не на нижнем уровне0</fonttex> tmp = insert (i.ref, key) значит <font color=darkgreentex>// Рекурсивный вызов на более низком уровнеx_0</fonttex> '''if''' tmp == ''null'' <font color=darkgreentex>// Проверка броска монетки-</fonttex> '''return''' ''null'' iточка минимума.next = '''new''' node (i.next, tmp, data, key) Значит при распределении <font color=darkgreentex>//Непосредственно вставка</font> '''if''' random(0\left\{ \dfrac{1}{e},\dfrac{e - 1) > 0.5 }{e} \right\}<font color=darkgreen>// Бросок монетки</fonttex> return iвремя поиска меньше всего.next Но не стоит забывать, что это лишь теоретическая оценка и в действительности придумать источник с распределением <font color=darkgreentex>// Нужно передать новый элемент для вставки выше\left\{ \dfrac{1}{e}, \dfrac{e - 1}{e} \right\}</fonttex> '''else''' return ''null'' почти невозможно, поэтому на практике лучше всего использовать честную монету.

'''void''' insert ('''list''' skip_list, '''K''' keyДля крайних распределений:* <tex>\{0, '''T''' data) 1\}<font color=darkgreen/tex>// Обёрточка— </fonttex> insertO(skip_list.head, key, datan) </codetex>— поиск, добавление и удаления элемента, поскольку мы вместо нескольких списков используем по факту один.Удаление:* <codetex> '''void''' erase ('''node''' i\{1, '''K''' key) '''if''' i == ''null'' '''return''' '''while''' i.key <= key <font color=darkgreen>// Ищем элемент0\}</fonttex> i = i— зависит от реализации алгоритма.next() erase(i.refЕсли при каждой вставке у нас образуется не более одного уровня, key) то количество уровней будет равным <font color=darkgreentex>// Удаляем с нижних уровнейn</fonttex> '''if''' i.key == key <font color=darkgreen>// Если ключ совпадает, значит время поиска будет равным </fonttex> '''delete'''O(in) <font color=darkgreen>// удаляем и с этого уровня</fonttex>.

 Список с пропусками применяется во многих приложениях, поскольку имеет ряд преимуществ:* Базы данныхБыстрая вставка элемента, поскольку не требуется каким-либо образом изменять другие элементы (только предыдущий элемент)* Распределённые вычисления и p2pПроще реализовать, чем сбалансированные деревья или хеш-таблицы* Следующий элемент достаётся за <tex>O(1)</tex> (при условии, что у нас есть ссылка не текущий)* Масштабируемые параллельные приоритетные очереди Легко модифицировать под различные задачи ===Нахождение всех отрезков, покрывающих данную точку=== {{Задача|definition = Пусть у нас есть запросы двух видов:# Добавить отрезок <tex>[L, R]</tex># Для заданной точки <tex>x</tex> вычислить количество отрезков, которые её покрывают. Необходимо для каждого запроса второго типа вывести ответ.}} Для решения данной задачи воспользуемся списком с пропусками. Когда нам приходит запрос первого типа, то мы просто добавляем числа <tex>L</tex> и словари<tex>R</tex> в список с пропусками (если какое-то из чисел уже было добавлено, то второй раз мы его не добавляем). После этого идём с верхнего уровня, и на каждом уровне мы ищем такие <tex>l</tex> и <tex>r</tex>, что значение <tex>l</tex> меньше <tex>L</tex>, а значение следующего за <tex>l</tex> элемента уже не меньше <tex>L</tex>. Аналогично ищем такое же <tex>r</tex>, только относительно <tex>R</tex>. Если значения <tex>l.next</tex> и <tex>r</tex> лежат полностью внутри отрезка <tex>[L, R]</tex>, то к самому отрезку <tex>[l.next, r]</tex> прибавляем <tex>1</tex>, а сам отрезок <tex>[L, R]</tex> разбиваем на три <tex>[L, l.next.key - 1]</tex>, <tex>[l.next.key, r.key]</tex> и <tex>[r.key + 1, R]</tex> и по отдельности решаем задачу уже для полученных отрезков (если для какого-то отрезка левая граница стала больше правой, то мы ничего не делаем). Допустим, что на каком-то уровне у нас получилось разделить отрезок <tex>[L, R]</tex> на <tex>3</tex> части. Но тогда на следующих уровнях мы будем уменьшать отрезок почти в два раза только с одной стороны, поскольку левая или правая часть отрезка будет равна <tex>l.next.key</tex> или <tex>r.key</tex>. Итого время обработки запроса <tex>O(\log{n})</tex>. В вычислительной геометрии широко применяются структуры Для запросов второго типа мы снова будем спускать с верхнего уровня до нижнего. На каждом уровне найдём тот элемент, значение которого не меньше точки <tex>x</tex>. Если такой элемент нашёлся, то прибавляем к ответу значение на отрезку между найденным элементом и следующим. Потом также спускаемся на один уровень вниз, если текущий уровень не был первым. Поскольку уровней всего <tex>\log{n}</tex>, а на основе списка с пропускамикаждом уровне обойдём не более двух элементов, то данный тип запросов мы обработаем за <tex>O(\log{n})</tex>. 

Структуры на основе списка с пропусками:*[[Skip quadtree: определение, время работы|Skip quadtree]]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Skip_graph Википедия — Skip graph(En)]

*[http://habrahabr.ru/post/111913/ Хабрахабр — Списки с пропусками]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%BA_%D1%81_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BF%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8 Википедия — списки с пропусками(Ru)]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Skip_list Википедия Wikipedia — списки с пропусками(En)]*[http://bit.ly/LiNe8M Курс kiev-clrs — Списки с пропускамиskip list]