Теорема Дирака — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(бред написан какой-то)
 
(не показано 12 промежуточных версий 7 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|about=о длине цикла
 
|about=о длине цикла
|statement= Пусть <tex>G</tex> - произвольный неориентированный граф и <tex>\delta</tex> - минимальная степень его вершин. Если <tex>\delta \ge 2</tex>, то в графе <tex>G</tex> существует цикл <tex>C</tex> длиной <tex>l \ge \delta + 1</tex>.
+
|statement= Пусть <tex>G</tex> {{---}} произвольный [[Основные определения теории графов#def_undirected_graph_1|неориентированный граф]] и <tex>\delta</tex> {{---}} минимальная [[Основные определения теории графов#def_graph_degree_1|степень]] его вершин. Если <tex>\delta \geqslant 2</tex>, то в графе <tex>G</tex> существует [[Основные определения теории графов#def_graph_cycle_1|цикл]] <tex>C</tex> длиной <tex>l \geqslant \delta + 1</tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Рассмотрим путь максимальной длины <tex>P = v_0 v_1 .. v_s</tex>. Все смежные с <tex>v_0</tex> вершины лежат на <tex>P</tex>. Обозначим <tex>k = max\{i: v_0 v_i \in E\}</tex>. Тогда <tex>\delta \le deg\ v_0 \le k</tex>. Цикл  <tex>C = v_0 v_1 .. v_k v_0</tex> имеет длину <tex>l = k + 1 \ge \delta + 1</tex>
+
Рассмотрим путь максимальной длины <tex>P = v_0 v_1 \dots v_s</tex>. Все смежные с <tex>v_0</tex> вершины лежат на <tex>P</tex>. Обозначим <tex>k = \max \{i: v_0 v_i \in E\} </tex>. Тогда <tex>\delta \leqslant \deg v_0 \leqslant k</tex>. Цикл  <tex>C = v_0 v_1 \dots v_k v_0</tex> имеет длину <tex>l = k + 1 \geqslant \delta + 1</tex>
 
}}
 
}}
  
==Теорема==
+
==Альтернативное доказательство==
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|about=Дирак
+
|about=Дирак {{---}} альтернативное доказательство
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>G</tex> - неориентированный граф и <tex>\delta</tex> - минимальная степень его вершин. Если <tex>n \ge 3</tex> и <tex>\delta \ge n/2</tex>, то  <tex>G</tex> - гамильтонов граф.
+
Пусть <tex>G</tex> {{---}} неориентированный граф и <tex>\delta</tex> {{---}} минимальная степень его вершин. Если <tex>n \geqslant 3</tex> и <tex>\delta \geqslant n/2</tex>, то  <tex>G</tex> {{---}} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]].
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex>C</tex> - цикл наибольшей длины в графе <tex>G</tex>. По лемме его длина <tex>l \ge \delta + 1</tex>. Если <tex>C</tex> - гамильтонов, то теорема доказана. Предположим обратное, т. е. <tex>G \backslash C \ne \varnothing</tex>. Рассмотрим путь <tex>P = x..y : P \cap C = \{y\}</tex> наибольшей длины <tex>m</tex>. Заметим, что по условию <tex>\delta \ge n/2</tex>, а значит <tex>\delta \ge n - \delta > n - l = |V(G \backslash C)|</tex> и каждая вершина из <tex>G \backslash C</tex> смежна с некоторыми вершинами из <tex>C</tex>.
+
Для <tex>\forall k</tex> верна импликация <tex>d_k \leqslant k < n/2 \Rightarrow d_{n-k} \geqslant n-k</tex>, поскольку левая её часть всегда ложна. Тогда по [[Теорема Хватала | теореме Хватала]] <tex>G</tex> {{---}} гамильтонов граф.
Заметим, что вершина <tex>x</tex> не может быть смежна:
+
}}
* с вершинами из <tex>C</tex>, расстояние от которых до <tex>y</tex> (по <tex>C</tex>) не превышает m. Действительно, пусть вершина <tex>v \in C</tex> и расстояние от <tex>v</tex> до <tex>y</tex> по циклу меньше либо равно <tex>m</tex>. Тогда этот участок цикла можно заменить на <tex>v \rightarrow x \rightarrow P \rightarrow y</tex>, длина которого <tex>m + 1</tex>. Таким образом образуется цикл большей длины, что противоречит предположению о максимальности цикл <tex>C</tex>.
 
* двум смежным вершинам на <tex>C</tex>. Пусть <tex>u, v \in C</tex> и <tex>\{(u, v), (u, x), (x, v)\} \in E</tex>. Тогда заменив ребро <tex>(u, v)</tex> на <tex>u \rightarrow x \rightarrow v</tex>, увеличим длину цикла на <tex>1</tex>.
 
* вершинам из <tex>G \backslash (C \cup P)</tex>, поскольку <tex>P</tex> максимальный.
 
  
Получаем <tex>deg\ x \le m + (l - 2m)/2 =l/2 < n/2 \le \delta</tex>. Противоречие.
+
{{Теорема
 +
|about = Вывод из [[Теорема Оре|теоремы Оре]]
 +
|statement =
 +
Пусть <tex>G</tex> {{---}} неориентированный граф и <tex>\delta</tex> {{---}} минимальная степень его вершин. Если <tex>n \geqslant 3</tex> и <tex>\delta \geqslant n/2</tex>, то  <tex>G</tex> {{---}} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]].
 +
|proof =  
 +
Возьмем любые неравные вершины <tex> u, v \in G </tex>. Тогда <tex> \displaystyle \deg u + \deg v \geqslant \frac n 2 + \frac n 2 = n </tex>. По теореме Оре <tex> G </tex> {{---}} гамильтонов граф.
 
}}
 
}}
  
==Альтернативное доказательство==
+
==См. также==
 +
* [[Гамильтоновы графы]]
 +
* [[Теорема Хватала]]
 +
* [[Теорема Оре]]
 +
* [[Теорема Поша]]
  
{{Теорема
+
== Источники информации ==
|about=Дирак {{---}} альтернативное доказательство
+
* [[wikipedia:en:Dirac's_Theorem|Wikipedia {{---}} Dirac's Theorem]]
|statement=
+
* Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). ''Handbook of Combinatorics'', Volumes 1 and 2. Elsevier (North-Holland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass. ISBN 0-262-07169-X.
Пусть <tex>G</tex> - неориентированный граф и <tex>\delta</tex> - минимальная степень его вершин. Если <tex>n \ge 3</tex> и <tex>\delta \ge n/2</tex>, то <tex>G</tex> - гамильтонов граф.
 
|proof=
 
Для <tex>\forall k</tex> верна импликация <tex>d_k \le k < n/2 \Rightarrow d_{n-k} \ge n-k</tex>, поскольку левая её часть всегда ложна.
 
}}
 
  
== Источники ==
 
Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). Handbook of Combinatorics, Volumes 1
 
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Обходы графов]]
 
[[Категория: Обходы графов]]
 +
[[Категория: Гамильтоновы графы]]

Текущая версия на 01:43, 15 апреля 2021

Лемма о длине цикла[править]

Лемма (о длине цикла):
Пусть [math]G[/math] — произвольный неориентированный граф и [math]\delta[/math] — минимальная степень его вершин. Если [math]\delta \geqslant 2[/math], то в графе [math]G[/math] существует цикл [math]C[/math] длиной [math]l \geqslant \delta + 1[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рассмотрим путь максимальной длины [math]P = v_0 v_1 \dots v_s[/math]. Все смежные с [math]v_0[/math] вершины лежат на [math]P[/math]. Обозначим [math]k = \max \{i: v_0 v_i \in E\} [/math]. Тогда [math]\delta \leqslant \deg v_0 \leqslant k[/math]. Цикл [math]C = v_0 v_1 \dots v_k v_0[/math] имеет длину [math]l = k + 1 \geqslant \delta + 1[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Альтернативное доказательство[править]

Теорема (Дирак — альтернативное доказательство):
Пусть [math]G[/math] — неориентированный граф и [math]\delta[/math] — минимальная степень его вершин. Если [math]n \geqslant 3[/math] и [math]\delta \geqslant n/2[/math], то [math]G[/math]гамильтонов граф.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для [math]\forall k[/math] верна импликация [math]d_k \leqslant k \lt n/2 \Rightarrow d_{n-k} \geqslant n-k[/math], поскольку левая её часть всегда ложна. Тогда по теореме Хватала [math]G[/math] — гамильтонов граф.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Вывод из теоремы Оре):
Пусть [math]G[/math] — неориентированный граф и [math]\delta[/math] — минимальная степень его вершин. Если [math]n \geqslant 3[/math] и [math]\delta \geqslant n/2[/math], то [math]G[/math]гамильтонов граф.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Возьмем любые неравные вершины [math] u, v \in G [/math]. Тогда [math] \displaystyle \deg u + \deg v \geqslant \frac n 2 + \frac n 2 = n [/math]. По теореме Оре [math] G [/math] — гамильтонов граф.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Wikipedia — Dirac's Theorem
  • Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). Handbook of Combinatorics, Volumes 1 and 2. Elsevier (North-Holland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass. ISBN 0-262-07169-X.