Теорема Поша

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Теорема[править]

Теорема (Поша):
Пусть граф [math] G [/math] имеет [math]n \geqslant 3[/math] вершин и выполнены следующие два условия:
  • [math] \forall [/math] [math]k,\, 1 \leqslant k \lt (n-1)/2[/math], число вершин со степенями, не превосходящими [math]k[/math], меньше чем [math]k[/math]
  • для нечетного [math]n[/math] число вершин степени [math](n-1)/2[/math] не превосходит [math](n-1)/2[/math]
тогда [math] G [/math]гамильтонов граф.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Гамильтонов цикл [math] v_{1} v_{2} \dotsc v_{{i}_{j-1}} v_{n} v_{n-1} \dotsc v_{{i}_{j}} v_{1} [/math]

Предположим, что теорема неверна. Пусть [math] G [/math] — максимальный негамильтонов граф с [math] n [/math] вершинами, удовлетворяющий условиям теоремы.

Легко видеть, что добавление любого ребра в граф, обладающий указанными свойствами, приводит к графу, который также обладает этими свойствами. Таким образом, поскольку добавление к [math] G [/math] произвольного ребра приводит к гамильтонову графу, любые две несмежные вершины соединимы простым гамильтоновым путем.

Покажем сначала, что всякая вершина, степень которой не меньше [math] (n-1)/2 [/math], смежна с каждой вершиной со степенью, большей чем [math] (n-1)/2 [/math]. Не умаляя общности, допустим, что [math] \deg v_{1} \geqslant (n-1)/2 [/math] и [math] \deg v_{n} \geqslant n/2 [/math], но вершины [math] v_{1} [/math] и [math] v_{n} [/math] не смежны. Тогда существует простой гамильтонов путь [math] v_{1} v_{2} \dotsc v_{n} [/math], соединяющий [math] v_{1} [/math] и [math] v_{n} [/math]. Обозначим вершины, смежные с [math] v_{1} [/math], через [math] v_{{i}_{1}}, \dotsc,v_{{i}_{k}} [/math], где [math] k = \deg v_{1} [/math] и [math] 2=i_{1} \lt i_{2} \lt \dotsc \lt i_{k} [/math]. Ясно, что вершина [math] v_{n} [/math] не может быть смежной ни с одной вершиной из [math] G [/math] вида [math] v_{{i}_{j-1}} [/math], поскольку тогда в [math] G [/math] был бы гамильтонов цикл [math] v_{1} v_{2} \dotsc v_{{i}_{j-1}} v_{n} v_{n-1} \dotsc v_{{i}_{j}} v_{1} [/math].

Далее, так как [math] k \geqslant (n-1)/2 [/math], то [math] n/2 \leqslant \deg v_{n} \leqslant n-1-k \lt n/2 [/math], что невозможно. Поэтому [math] v_{1} [/math] и [math] v_{n} [/math] должны быть смежны.

Отсюда следует, что если [math] \deg v \geqslant n/2 [/math] для всех вершин [math] v [/math], то [math] G [/math] — гамильтонов граф. В силу изложенного выше каждая пара вершин графа [math] G [/math] смежна, т.е. [math] G [/math] — полный граф. Мы пришли к противоречию, поскольку [math] K_{n} [/math] — гамильтонов граф для всех [math] n \geqslant 3 [/math].

Таким образом, в [math] G [/math] есть вершина [math] v [/math] с [math] \deg v \lt n/2 [/math]. Обозначим через [math] m [/math] наибольшую среди степеней всех таких вершин. Выберем такую вершину [math] v_{1} [/math], что [math] \deg v_{1} = m [/math]. По принятому предположению число вершин со степенями, не превосходящими [math] m [/math], не больше чем [math] m \lt n/2 [/math], поэтому должно быть более чем [math] m [/math] вершин со степенями, превосходящими [math] m [/math], и, следовательно, не меньшими чем [math] n/2 [/math]. В результате найдется некоторая вершина, скажем [math] v_{n} [/math], степени по крайней мере [math] n/2 [/math], не смежная с [math] v_{1} [/math]. Так как [math] v_{1} [/math] и [math] v_{n} [/math] не смежны, то существует простой гамильтонов путь [math] v_{1} \dotsc v_{n} [/math]. Как и выше, обозначим через [math] v_{{i}_{1}}, \dotsc, v_{{i}_{m}} [/math] вершины графа [math] G [/math], смежные с [math] v_{1} [/math], и заметим, что вершина [math] v_{n} [/math] не может быть смежной ни с одной из [math] m [/math] вершин [math] v_{{i}_{j-1}} [/math] для [math] 1 \leqslant j \leqslant m [/math]. Но поскольку [math] v_{1} [/math] и [math] v_{n} [/math] не смежны, а [math] v_{n} [/math] имеет степень не меньше [math] n/2 [/math], то, как было показано в первой части доказательства, [math] m [/math] должно быть меньше чем [math] (n-1)/2 [/math]. Так как по предположению число вершин со степенями, не превосходящими [math] m [/math], меньше чем [math] m [/math], то хотя бы одна из [math] m [/math] вершин [math] v_{{i}_{j-1}} [/math], скажем [math] v' [/math], должна иметь степень не меньше [math] n/2 [/math]. Итак, мы установили, что степени двух несмежных вершин [math] v_{n} [/math] и [math] v' [/math] не меньше [math] n/2 [/math]. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
[math]\triangleleft[/math]

Замечания[править]

Кубический гамильтонов граф
  • Приведенное достаточное условие не является необходимым. Изображенный на рисунке кубический граф — гамильтонов, хотя ясно, что он не удовлетворяет условиям теоремы.
  • Условия теоремы нельзя улучшить, так как при их ослаблении новое условие уже не будет достаточным для гамильтоновости графа.





Следствия[править]

Ограничивая условия теоремы Поша, получаем более простые, но менее сильные достаточные условия, найденные Оре и Дираком соответственно:

Теорема (Следствие 1):
Если [math] n \geqslant 3 [/math] и [math] \deg u + \deg v \geqslant n [/math] для любой пары [math] u [/math] и [math] v [/math] несмежных вершин графа [math] G [/math], то [math] G [/math] — гамильтонов граф.
Теорема (Следствие 2):
Если [math] n \gt 3 [/math] и [math] \deg v \geqslant n/2 [/math] для любой вершины [math] v [/math] графа [math] G [/math], то [math] G [/math] — гамильтонов граф.

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. / Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 60 с.