Теорема Редеи-Камиона — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 34: Строка 34:
 
<u> ''База  индукции:'' </u>
 
<u> ''База  индукции:'' </u>
  
Покажем, что в любом сильно связанном турнире <tex>T</tex> с <tex>n</tex> вершинами <tex>n \ge 3</tex> есть орцикл длины 3. Выберем произвольную вершину <tex>v_0</tex> и обозначим через <tex>W</tex> множество всех вершин <tex>w</tex>, таких, что ребро <tex>(v_0, w) \in T </tex>, а через <tex>Z</tex> – множество всех вершин <tex>z</tex>, таких, что ребро <tex>(z, v_0) \in T </tex>. Так как <tex>T</tex> сильно связан, то оба множества <tex>W</tex> и <tex>Z</tex> не пусты и найдется ребро  <tex>(w', z') \in T </tex> , где <tex>w' \in W, z' \in Z</tex>.  Тогда искомым циклом длины 3 будет <tex>v_0</tex>,<tex>w'</tex>,<tex>z'</tex>,<tex>v_0</tex>.
+
Пусть <tex> T </tex> - сильно связанный турнир из <tex> n \geq 3 </tex> вершин.
 +
{{Утверждение
 +
|statement=
 +
В турнире <tex> T </tex> есть орцикл длины <tex> 3 </tex>.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex> u </tex> - произвольная вершина турнира <tex> T , V_1 = \{ v_1 \in VT | (u, v_1) \in ET \}, V_2 = \{ v_2 \in VT | (v_2, u) \in ET \} </tex>.
 +
 
 +
<tex> T </tex> сильно связен, следовательно:
 +
# <tex> V_1 \neq \emptyset </tex>
 +
# <tex> V_2 \neq \emptyset </tex>
 +
#<tex> \exists e = (v'_1, v'_2) \in ET : </tex>
 +
#* <tex> v'_1 \in V_1 </tex>
 +
#* <tex> v'_2 \in V_2 </tex>
 +
Цикл <tex> P: u \rightarrow v'_1 \rightarrow v'_2 \rightarrow u </tex> - искомый орцикл длины <tex> 3 </tex>, q.e.d.
 +
}}
  
 
<u> ''Индукционный переход:'' </u>
 
<u> ''Индукционный переход:'' </u>
  
Покажем, что если турнир <tex>T</tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет орцикл <tex>S = v_1v_2...v_kv_1</tex> длины <tex>k < n</tex>, то он имеет также орцикл длины <tex>k + 1</tex>.  Рассмотрим 2 случая:
+
Покажем, что если турнир <tex> T </tex> с <tex>n</tex> вершинами имеет орцикл <tex> S = v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1 </tex> длины <tex> k < n </tex>, то он имеет также орцикл длины <tex>k + 1</tex>.  Рассмотрим 2 случая:
 
# Существует такая вершина <tex>v_0 \notin S </tex> такая, что найдутся вершины <tex>u , w \in S</tex> , такие, что ребра <tex> (v_0 , u) , (w , v_0) \in T </tex>. Обозначим за <tex>v_1</tex> вершину из <tex>S</tex>, такую, что ребро  <tex> ( v_1, v_0  ) \in T </tex>. Пусть <tex>v_i</tex> – первая вершина при обходе контура <tex>S</tex> из <tex>v_1</tex>, для которой ребро  <tex> ( v_0, v_i  ) \in T </tex>. Тогда ребро <tex>(v_{i-1}, v_0)</tex> также содержится в <tex>T</tex>. Поэтому <tex>v_1v_2...v_{i-1}v_0v_i...v_kv_1</tex> – искомый орцикл длины <tex>k+1</tex>.
 
# Существует такая вершина <tex>v_0 \notin S </tex> такая, что найдутся вершины <tex>u , w \in S</tex> , такие, что ребра <tex> (v_0 , u) , (w , v_0) \in T </tex>. Обозначим за <tex>v_1</tex> вершину из <tex>S</tex>, такую, что ребро  <tex> ( v_1, v_0  ) \in T </tex>. Пусть <tex>v_i</tex> – первая вершина при обходе контура <tex>S</tex> из <tex>v_1</tex>, для которой ребро  <tex> ( v_0, v_i  ) \in T </tex>. Тогда ребро <tex>(v_{i-1}, v_0)</tex> также содержится в <tex>T</tex>. Поэтому <tex>v_1v_2...v_{i-1}v_0v_i...v_kv_1</tex> – искомый орцикл длины <tex>k+1</tex>.
 
# Пусть такой вершины <tex>v_0</tex> нет. Тогда разобьем вершины, не принадлежащие <tex>S</tex>, на два непересекающихся подмножества <tex>W</tex> и <tex>Z</tex>, где <tex>W</tex> - множество таких вершин <tex>w</tex> , что ребро <tex>(v_i, w)</tex> для любого <tex>i</tex> содержится в <tex>T</tex>, а <tex>Z</tex> – множество таких вершин <tex>z</tex>, что ребро <tex>(z, v_i)</tex> для любого <tex>i</tex> содержится в <tex>T</tex>. Так как <tex>T</tex> сильно связан, то оба множества <tex>W</tex> и <tex>Z</tex> не пусты и найдется ребро  <tex> (w', z') \in T </tex> , где <tex>w' \in W , z' \in Z</tex>. Тогда <tex>v_1 w' z' v_3...v_k v_1</tex> – требуемый орцикл.
 
# Пусть такой вершины <tex>v_0</tex> нет. Тогда разобьем вершины, не принадлежащие <tex>S</tex>, на два непересекающихся подмножества <tex>W</tex> и <tex>Z</tex>, где <tex>W</tex> - множество таких вершин <tex>w</tex> , что ребро <tex>(v_i, w)</tex> для любого <tex>i</tex> содержится в <tex>T</tex>, а <tex>Z</tex> – множество таких вершин <tex>z</tex>, что ребро <tex>(z, v_i)</tex> для любого <tex>i</tex> содержится в <tex>T</tex>. Так как <tex>T</tex> сильно связан, то оба множества <tex>W</tex> и <tex>Z</tex> не пусты и найдется ребро  <tex> (w', z') \in T </tex> , где <tex>w' \in W , z' \in Z</tex>. Тогда <tex>v_1 w' z' v_3...v_k v_1</tex> – требуемый орцикл.

Версия 10:26, 20 ноября 2011

Теорема (Редеи-Камиона (для пути)):
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приведем доказательство по индукции по числу вершин. Пусть [math] n [/math] - количество вершин в графе.

База индукции:

Очевидно, для [math] n = 3 [/math] утверждение верно.

Индукционный переход:

Пусть предположение верно для всех турниров с количеством вершин не более [math] n [/math]. Рассмотрим турнир [math] T [/math] с [math] n + 1 [/math] вершинами.

Пусть [math] u [/math] – произвольная вершина турнира [math] T [/math]. Тогда турнир [math] T - u [/math] имеет [math] n [/math] вершин, значит, в нем есть гамильтонов путь [math] P: v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_n [/math]. Одно из ребер [math] (u, v_1) [/math] или [math] (v_1, u) [/math] обязательно содержится в [math] T [/math].

  1. Ребро [math] (u, v_1) \in ET [/math]. Тогда путь [math] u \rightarrow P [/math] - гамильтонов.
  2. Ребро [math] (u, v_1) \notin ET [/math]. Пусть [math] v_i [/math] - первая вершина пути [math] P [/math], для которой ребро [math] (u, v_i) \in T [/math].
    1. Если такая вершина существует, то в [math] T [/math] существует ребро [math] (v_{i - 1}, u) [/math] и путь [math] v_1 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow u \rightarrow v_i \rightarrow \ldots v_n [/math] – гамильтонов.
    2. Если такой вершины не существует, то путь [math] P \rightarrow u [/math] - гамильтонов.
Значит, в любом случае в турнире существует гамильтонов путь, q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Редеи-Камиона (для цикла)):
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приведем доказательство по индукции по числу вершин. Пусть [math] n [/math] - количество вершин в графе.

База индукции:

Пусть [math] T [/math] - сильно связанный турнир из [math] n \geq 3 [/math] вершин.

Утверждение:
В турнире [math] T [/math] есть орцикл длины [math] 3 [/math].
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] u [/math] - произвольная вершина турнира [math] T , V_1 = \{ v_1 \in VT | (u, v_1) \in ET \}, V_2 = \{ v_2 \in VT | (v_2, u) \in ET \} [/math].

[math] T [/math] сильно связен, следовательно:

  1. [math] V_1 \neq \emptyset [/math]
  2. [math] V_2 \neq \emptyset [/math]
  3. [math] \exists e = (v'_1, v'_2) \in ET : [/math]
    • [math] v'_1 \in V_1 [/math]
    • [math] v'_2 \in V_2 [/math]
Цикл [math] P: u \rightarrow v'_1 \rightarrow v'_2 \rightarrow u [/math] - искомый орцикл длины [math] 3 [/math], q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]

Индукционный переход:

Покажем, что если турнир [math] T [/math] с [math]n[/math] вершинами имеет орцикл [math] S = v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1 [/math] длины [math] k \lt n [/math], то он имеет также орцикл длины [math]k + 1[/math]. Рассмотрим 2 случая:

  1. Существует такая вершина [math]v_0 \notin S [/math] такая, что найдутся вершины [math]u , w \in S[/math] , такие, что ребра [math] (v_0 , u) , (w , v_0) \in T [/math]. Обозначим за [math]v_1[/math] вершину из [math]S[/math], такую, что ребро [math] ( v_1, v_0 ) \in T [/math]. Пусть [math]v_i[/math] – первая вершина при обходе контура [math]S[/math] из [math]v_1[/math], для которой ребро [math] ( v_0, v_i ) \in T [/math]. Тогда ребро [math](v_{i-1}, v_0)[/math] также содержится в [math]T[/math]. Поэтому [math]v_1v_2...v_{i-1}v_0v_i...v_kv_1[/math] – искомый орцикл длины [math]k+1[/math].
  2. Пусть такой вершины [math]v_0[/math] нет. Тогда разобьем вершины, не принадлежащие [math]S[/math], на два непересекающихся подмножества [math]W[/math] и [math]Z[/math], где [math]W[/math] - множество таких вершин [math]w[/math] , что ребро [math](v_i, w)[/math] для любого [math]i[/math] содержится в [math]T[/math], а [math]Z[/math] – множество таких вершин [math]z[/math], что ребро [math](z, v_i)[/math] для любого [math]i[/math] содержится в [math]T[/math]. Так как [math]T[/math] сильно связан, то оба множества [math]W[/math] и [math]Z[/math] не пусты и найдется ребро [math] (w', z') \in T [/math] , где [math]w' \in W , z' \in Z[/math]. Тогда [math]v_1 w' z' v_3...v_k v_1[/math] – требуемый орцикл.
Таким образом в любом сильно связанном турнире [math]T[/math] с [math]n[/math] вершинами будет орцикл длины [math]n[/math], то есть гамильтонов цикл.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (Следствие):
Турнир является сильно связанным тогда и только тогда, когда он имеет гамильтонов цикл.

Литература

  • Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы
  • Ф. Харари: Теория графов