Теорема Редеи-Камиона — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 59: Строка 59:
 
|proof=
 
|proof=
 
Пусть <tex> S_k = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) </tex>.
 
Пусть <tex> S_k = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) </tex>.
Пусть <tex> v_0 \notin S </tex> такая, что <tex> \exists u, w \in S </tex>:
+
 
* <tex> (v_0, u) \in ET </tex>
+
Пусть <tex> v_0 \notin S_k </tex> такая, что <tex> \exists u, w \in S_k </tex>:
 +
* <tex> (v_0, u) \in ET </tex>,
 
* <tex> (w, v_0) \in ET </tex>.
 
* <tex> (w, v_0) \in ET </tex>.
# Существует такая вершина <tex> v_0 </tex>. <br> Пусть <tex> v_1 </tex> - вершина из <tex> S </tex> такая, что ребро <tex> e = (v_1, v_0 ) \in ET </tex>. Пусть <tex> v_i </tex> – первая вершина при обходе контура <tex> S </tex> из <tex> v_1 </tex>, для которой ребро <tex> f = (v_0, v_i ) \in ET </tex>. Тогда ребро <tex> g = (v_{i - 1}, v_0) </tex> также содержится в <tex> T </tex>. <br> Тогда <tex> S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow v_0 \rightarrow v_i \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) </tex> – искомый орцикл длины <tex> k + 1 </tex>.
+
 
# Не существует такой вершины <tex> v_0 </tex>.
+
Рассмотрим два случая:
: Пусть:
+
# существует такая вершина <tex> v_0 </tex>,
:* <tex> U = \{ u \in VT | u \notin S, e = (v_i, u) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} </tex>
+
# не существует такой вершины <tex> v_0 </tex>.
:* <tex> W = \{ w \in VT | w \notin S, f = (w, v_i) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} </tex>
+
 
:* <tex> U \cap W = \emptyset </tex>
+
<u> Первый случай: </u>
: Турнир сильно связен, следовательно:
+
 
:* <tex> U \neq \emptyset </tex>
+
[[Файл:Cycle_k.jpg|350px|thumb|right|<tex> S_{k + 1} </tex>]]
:* <tex> W \neq \emptyset </tex>
+
Пусть <tex> v_1 </tex> - вершина из <tex> S_k </tex> такая, что ребро <tex> e = (v_1, v_0 ) \in ET </tex>. Пусть <tex> v_i </tex> – первая вершина при обходе контура <tex> S_k </tex> из <tex> v_1 </tex>, для которой ребро <tex> f = (v_0, v_i ) \in ET </tex>.
:* <tex> \exists g = (u', w') \in T: </tex>
+
 
:** <tex> u' \in U </tex>
+
Тогда ребро <tex> g = (v_{i - 1}, v_0) \in ET </tex>.
:** <tex> w' \in W </tex>.
+
 
: Тогда <tex> S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow u' \rightarrow w' \rightarrow v_3 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1</tex> – искомый орцикл длины <tex> k + 1 </tex>.
+
Тогда <tex> S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow v_0 \rightarrow v_i \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) </tex> – искомый орцикл длины <tex> k + 1 </tex>.
 +
 
 +
<u> Второй случай: </u>
 +
 
 +
Пусть:
 +
* <tex> U = \{ u \in VT | u \notin S, e = (v_i, u) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} </tex>,
 +
* <tex> W = \{ w \in VT | w \notin S, f = (w, v_i) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} </tex>,
 +
* <tex> U \cap W = \emptyset </tex>.
 +
Турнир сильно связен, следовательно:
 +
* <tex> U \neq \emptyset </tex>
 +
* <tex> W \neq \emptyset </tex>
 +
* <tex> \exists g = (u', w') \in T: </tex>
 +
** <tex> u' \in U </tex>
 +
** <tex> w' \in W </tex>.
 +
Тогда <tex> S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow u' \rightarrow w' \rightarrow v_3 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) </tex> – искомый орцикл длины <tex> k + 1 </tex>.
  
 
Цикл <tex> S_{k + 1} </tex> - искомый орцикл длины <tex> k + 1 </tex>, q.e.d.
 
Цикл <tex> S_{k + 1} </tex> - искомый орцикл длины <tex> k + 1 </tex>, q.e.d.

Версия 03:59, 27 ноября 2011

Теорема (Редеи-Камиона (для пути)):
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приведем доказательство по индукции по числу вершин в графе. Пусть [math] n [/math] - количество вершин в графе.

База индукции:

Очевидно, для [math] n = 3 [/math] утверждение верно.

Индукционный переход:

Пусть предположение верно для всех турниров с количеством вершин не более [math] n [/math]. Рассмотрим турнир [math] T [/math] с [math] n + 1 [/math] вершинами.

Пусть [math] u [/math] – произвольная вершина турнира [math] T [/math]. Тогда турнир [math] T - u [/math] имеет [math] n [/math] вершин, значит, в нем есть гамильтонов путь [math] P: (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_n) [/math]. Одно из ребер [math] (u, v_1) [/math] или [math] (v_1, u) [/math] обязательно содержится в [math] T [/math].

  1. Ребро [math] (u, v_1) \in ET [/math]. Тогда путь [math] (u \rightarrow P) [/math] - гамильтонов.
  2. Ребро [math] (u, v_1) \notin ET [/math]. Пусть [math] v_i [/math] - первая вершина пути [math] P [/math], для которой ребро [math] (u, v_i) \in T [/math].
    1. Если такая вершина существует, то в [math] T [/math] существует ребро [math] (v_{i - 1}, u) [/math] и путь [math] (v_1 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow u \rightarrow v_i \rightarrow \ldots v_n) [/math] – гамильтонов.
    2. Если такой вершины не существует, то путь [math] (P \rightarrow u) [/math] - гамильтонов.
Значит, в любом случае в турнире существует гамильтонов путь, q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Редеи-Камиона (для цикла)):
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приведем доказательство по индукции по числу вершин в цикле. Пусть [math] n [/math] - количество вершин в графе.

База индукции:

Утверждение:
Cильно связанный турнир [math] T [/math] из [math] n \geq 3 [/math] вершин содержит орцикл длины [math] 3 [/math].
[math]\triangleright[/math]
[math] S_3 [/math]

Пусть [math] u [/math] - произвольная вершина турнира [math] T [/math]. Множество вершин [math] VT - u [/math] распадается на [math] 2 [/math] непересекающихся множества:

  • [math] V_1 = \{ v_1 \in VT | (v_1, u) \in ET \} [/math],
  • [math] V_2 = \{ v_2 \in VT | (u, v_2) \in ET \} [/math].

[math] T [/math] сильно связен, следовательно:

  1. [math] V_1 \neq \emptyset [/math], иначе у турнира существует исток.
  2. [math] V_2 \neq \emptyset [/math], иначе у турнира существует сток.
  3. [math] \exists e = (v'_2, v'_1) \in ET [/math]:
    • [math] v'_1 \in V_1 [/math],
    • [math] v'_2 \in V_2 [/math].
Цикл [math] S_3: (u \rightarrow v'_2 \rightarrow v'_1 \rightarrow u) [/math] - искомый орцикл длины [math] 3 [/math], q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]

Индукционный переход:

Утверждение:
Если сильно связанный турнир [math] T [/math] из [math] n \geq 3 [/math] вершин содержит орцикл [math] S_k [/math] длины [math] k [/math], то он содержит и цикл длины [math] k + 1 [/math].
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] S_k = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) [/math].

Пусть [math] v_0 \notin S_k [/math] такая, что [math] \exists u, w \in S_k [/math]:

  • [math] (v_0, u) \in ET [/math],
  • [math] (w, v_0) \in ET [/math].

Рассмотрим два случая:

  1. существует такая вершина [math] v_0 [/math],
  2. не существует такой вершины [math] v_0 [/math].

Первый случай:

[math] S_{k + 1} [/math]

Пусть [math] v_1 [/math] - вершина из [math] S_k [/math] такая, что ребро [math] e = (v_1, v_0 ) \in ET [/math]. Пусть [math] v_i [/math] – первая вершина при обходе контура [math] S_k [/math] из [math] v_1 [/math], для которой ребро [math] f = (v_0, v_i ) \in ET [/math].

Тогда ребро [math] g = (v_{i - 1}, v_0) \in ET [/math].

Тогда [math] S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow v_0 \rightarrow v_i \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) [/math] – искомый орцикл длины [math] k + 1 [/math].

Второй случай:

Пусть:

  • [math] U = \{ u \in VT | u \notin S, e = (v_i, u) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} [/math],
  • [math] W = \{ w \in VT | w \notin S, f = (w, v_i) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} [/math],
  • [math] U \cap W = \emptyset [/math].

Турнир сильно связен, следовательно:

  • [math] U \neq \emptyset [/math]
  • [math] W \neq \emptyset [/math]
  • [math] \exists g = (u', w') \in T: [/math]
    • [math] u' \in U [/math]
    • [math] w' \in W [/math].

Тогда [math] S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow u' \rightarrow w' \rightarrow v_3 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) [/math] – искомый орцикл длины [math] k + 1 [/math].

Цикл [math] S_{k + 1} [/math] - искомый орцикл длины [math] k + 1 [/math], q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Таким образом, в любой сильно связанный турнир [math] T [/math] из [math] n \geq 3 [/math] вершин содержит орцикл длины [math] n [/math], то есть гамильтонов цикл, q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (Следствие):
Турнир является сильно связанным тогда и только тогда, когда он имеет гамильтонов цикл.

Литература

  • Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы
  • Ф. Харари: Теория графов