Теорема Редеи-Камиона — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 38: Строка 38:
 
Cильно связанный турнир <tex> T </tex> из <tex> n \geq 3 </tex> вершин содержит [[Основные_определения_теории_графов#.D0.9E.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D1.8B|цикл]] длины <tex> 3 </tex>.
 
Cильно связанный турнир <tex> T </tex> из <tex> n \geq 3 </tex> вершин содержит [[Основные_определения_теории_графов#.D0.9E.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D1.8B|цикл]] длины <tex> 3 </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
[[Файл:cycle_3.png|150px|thumb|right|<tex> S_3 </tex>]]
 
 
Пусть <tex> u </tex> - произвольная вершина турнира <tex> T </tex>. Множество вершин <tex> VT - u </tex> распадается на <tex> 2 </tex> непересекающихся множества:
 
Пусть <tex> u </tex> - произвольная вершина турнира <tex> T </tex>. Множество вершин <tex> VT - u </tex> распадается на <tex> 2 </tex> непересекающихся множества:
 
* <tex> V_1 = \{ v_1 \in VT | (v_1, u) \in ET \} </tex>,
 
* <tex> V_1 = \{ v_1 \in VT | (v_1, u) \in ET \} </tex>,
 
* <tex> V_2 = \{ v_2 \in VT | (u, v_2) \in ET \} </tex>.
 
* <tex> V_2 = \{ v_2 \in VT | (u, v_2) \in ET \} </tex>.
 +
[[Файл: Redei_kamion_1.png|250px|thumb|center]]
  
 
<tex> T </tex> сильно связен, следовательно:
 
<tex> T </tex> сильно связен, следовательно:
Строка 49: Строка 49:
 
#* <tex> w_1 \in V_1 </tex>,
 
#* <tex> w_1 \in V_1 </tex>,
 
#* <tex> w_2 \in V_2 </tex>.
 
#* <tex> w_2 \in V_2 </tex>.
 +
[[Файл: Redei_kamion_2.png|250px|thumb|center|<font color=#ED1C24>Красным</font> цветом выделен цикл длины 3]]
 +
 
Цикл <tex> S_3: (u \rightarrow w_2 \rightarrow w_1 \rightarrow u) </tex> - искомый цикл длины <tex> 3 </tex>, q.e.d.
 
Цикл <tex> S_3: (u \rightarrow w_2 \rightarrow w_1 \rightarrow u) </tex> - искомый цикл длины <tex> 3 </tex>, q.e.d.
 
}}
 
}}

Версия 14:35, 26 февраля 2012

Теорема (Редеи-Камиона (для пути)):
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приведем доказательство по индукции по числу вершин в графе. Пусть [math] n [/math] - количество вершин в графе.

База индукции:

Очевидно, для [math] n = 3 [/math] утверждение верно.

Индукционный переход:

Пусть предположение верно для всех турниров с количеством вершин не более [math] n [/math]. Рассмотрим турнир [math] T [/math] с [math] n + 1 [/math] вершинами.

Пусть [math] u [/math] – произвольная вершина турнира [math] T [/math]. Тогда турнир [math] T - u [/math] имеет [math] n [/math] вершин, значит, в нем есть гамильтонов путь [math] P: (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_n) [/math]. Одно из ребер [math] (u, v_1) [/math] или [math] (v_1, u) [/math] обязательно содержится в [math] T [/math].

  1. Ребро [math] (u, v_1) \in ET [/math]. Тогда путь [math] (u \rightarrow P) [/math] - гамильтонов.
  2. Ребро [math] (u, v_1) \notin ET [/math]. Пусть [math] v_i [/math] - первая вершина пути [math] P [/math], для которой ребро [math] (u, v_i) \in T [/math].
    1. Если такая вершина существует, то в [math] T [/math] существует ребро [math] (v_{i - 1}, u) [/math] и путь [math] (v_1 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow u \rightarrow v_i \rightarrow \ldots v_n) [/math] – гамильтонов.
    2. Если такой вершины не существует, то путь [math] (P \rightarrow u) [/math] - гамильтонов.
Значит, в любом случае в турнире существует гамильтонов путь, q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (Редеи-Камиона (для цикла)):
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приведем доказательство по индукции по числу вершин в цикле. Пусть [math] n [/math] - количество вершин в графе.

База индукции:

Утверждение:
Cильно связанный турнир [math] T [/math] из [math] n \geq 3 [/math] вершин содержит цикл длины [math] 3 [/math].
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] u [/math] - произвольная вершина турнира [math] T [/math]. Множество вершин [math] VT - u [/math] распадается на [math] 2 [/math] непересекающихся множества:

  • [math] V_1 = \{ v_1 \in VT | (v_1, u) \in ET \} [/math],
  • [math] V_2 = \{ v_2 \in VT | (u, v_2) \in ET \} [/math].
Redei kamion 1.png

[math] T [/math] сильно связен, следовательно:

  1. [math] V_1 \neq \emptyset [/math], (иначе [math] v [/math] - исток турнира)
  2. [math] V_2 \neq \emptyset [/math], (иначе [math] v [/math] - сток турнира)
  3. [math] \exists e = (w_2, w_1) \in ET [/math], (иначе нет пути из [math]V_2[/math] в [math]V_1[/math]):
    • [math] w_1 \in V_1 [/math],
    • [math] w_2 \in V_2 [/math].
Красным цветом выделен цикл длины 3
Цикл [math] S_3: (u \rightarrow w_2 \rightarrow w_1 \rightarrow u) [/math] - искомый цикл длины [math] 3 [/math], q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]

Индукционный переход:

Утверждение:
Если сильно связанный турнир [math] T [/math] из [math] n \geq 3 [/math] вершин содержит цикл [math] S_k [/math] длины [math] k, (k \lt n)[/math], то он содержит и цикл длины [math] k + 1 [/math].
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] S_k = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) [/math].

Пусть [math] v_0 \notin S_k [/math] такая, что [math] \exists u, w \in S_k [/math]:

  • [math] (v_0, u) \in ET [/math],
  • [math] (w, v_0) \in ET [/math].

Рассмотрим два случая:

  1. существует такая вершина [math] v_0 [/math],
  2. не существует такой вершины [math] v_0 [/math].

Заметим, что при [math]k = n - 1[/math] такая вершина необходимо существует, так как иначе вершина, не входящая в цикл, будет являться либо стоком, либо истоком.

Первый случай:

[math] S_{k + 1} в первом случае. [/math]
Пусть [math] v_1 [/math] - вершина из [math] S_k [/math] такая, что ребро [math] e = (v_1, v_0 ) \in ET [/math]. Пусть [math] v_i [/math] – первая вершина при обходе [math] S_k [/math] из [math] v_1 [/math], для которой ребро [math] f = (v_0, v_i ) \in ET [/math].
Тогда ребро [math] g = (v_{i - 1}, v_0) \in ET [/math].
Тогда [math] S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow v_2 \rightarrow \ldots \rightarrow v_{i - 1} \rightarrow v_0 \rightarrow v_i \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) [/math] – искомый цикл длины [math] k + 1 [/math].

Второй случай:

[math] S_{k + 1} во втором случае. [/math]
Пусть:
  • [math] V_1 = \{ u \in VT | u \notin S_k, e = (u, v_i) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} [/math],
  • [math] V_2 = \{ u \in VT | u \notin S_k, f = (v_i, u) \in ET, \forall i = \overline{1, n} \} [/math].
Тогда [math] V_1 \cap V_2 = \emptyset [/math].
Турнир сильно связен, следовательно:
  • [math] V_1 \neq \emptyset [/math], (иначе [math] T [/math] не будет сильно связным, так как тогда нет простых путей с началом в [math] V_2 [/math] и концом в [math] {v_1, \ldots, v_k} [/math])
  • [math] V_2 \neq \emptyset [/math], (иначе [math] T [/math] не будет сильно связным, так как тогда нет простых путей с началом в [math] {v_1, \ldots, v_k} [/math] и концом в [math] V_1 [/math])
  • [math] \exists g = (w_2, w_1) \in ET [/math], (иначе [math]T[/math] не будет сильно связным, так как тогда нет простых путей с началом в [math]V_2[/math] и концом в [math]V_1[/math]):
    • [math] w_1 \in V_1 [/math],
    • [math] w_2 \in V_2 [/math].
Тогда [math] S_{k + 1} = (v_1 \rightarrow w_2 \rightarrow w_1 \rightarrow v_3 \rightarrow \ldots \rightarrow v_k \rightarrow v_1) [/math] – искомый цикл длины [math] k + 1 [/math].
В любом случае утверждение верно, q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Таким образом, любой сильно связанный турнир [math] T [/math] с [math] n \geq 3 [/math] вершинами содержит цикл длины [math] n [/math], то есть гамильтонов цикл, q.e.d.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (Следствие):
Турнир является сильно связанным тогда и только тогда, когда он имеет гамильтонов цикл.

См. также

Литература

  • Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы
  • Ф. Харари: Теория графов