Изменения

Ограничимся рассмотрением сортировки перестановок <tex>n</tex> элементов. При сравнении некоторых двух из них, существует два возможных исхода (<tex>a_i < \leqslant a_j</tex> и <tex>a_i > a_j</tex>), значит, каждый узел дерева имеет не более двух сыновей. Всего существует <tex>n!</tex> различных перестановок <tex>n</tex> элементов, значит, число листьев нашего дерева не менее <tex>n!</tex> (в противном случае некоторые перестановки были бы не достижимы из корня, а, значит, алгоритм не правильно работал бы на некоторых исходных данных).

Докажем, что двоичное дерево с не менее чем <tex>n!</tex> листьями имеет глубину <tex>\Omega(n \log n)</tex>. Легко показать, что двоичное дерево высоты <tex>h</tex> имеет не более чем <tex>2^h</tex> листьев. Значит, имеем неравенство <tex>n! \leqslant l \leqslant 2^h</tex>, где <tex>l</tex> {{---}} количество число листьев. Прологарифмировав его, получим:

<tex> h \geqslant \log_2 n! = \log_2 1 + \log_2 2 + \ldots + \log_2 n ></tex> <tex> \dfrac{n}{2} \log_2 \left(\dfrac{n}{2}\right) = \dfrac{n}{2}(\log_2 n - 1) = \Omega (n \log n)</tex>

Итак, для любого алгоритма сортировки сравнениями, существует такая перестановка, на которой он выполнит <tex>\Omega(n \log n)</tex> сравнений, ч. т. д.

|statement=Любая сортирующая сеть с $n$ нитями имеет размер $\Omega(n \log n)$.|proof=Каждый компаратор реализует одно сравнение двух элементов.Поэтому сортирующая сеть является алгоритмом сортировки, который основан на сравнениях, при чем количества компараторов и сравнений в этом алгоритме совпадают. Значит, их $\Omega(n \log n)$}} {{Утверждение|statement=Любая сортирующая сеть с $n$ нитями имеет глубину $\Omega(\log n)$.|proof= На каждом слое может быть не более $\dfrac{n}{2}$ компараторов, так как внутри одного слоя гнезда компаратора крепятся к разным нитям, а их $n$. Пусть $d$ {{---}} количество слоев этой сети. Тогда количество компараторов $k \leqslant \dfrac{n}{2} \cdot d$ Теорема утверждает, что количество сравнений этого алгоритма (то есть количество компараторов) $k = \Omega(n\log n)$.Это означает, что найдется такая константа $c$, что $k \geqslant c \cdot n \log n$.Таким образом $c \cdot n \log n \leqslant k \leqslant \dfrac{n}{2} \cdot d \Rightarrow c \cdot n \log n \leqslant \dfrac{n}{2}\cdot d \Rightarrow 2c\log n \leqslant d \Rightarrow d = \Omega(\log n)$}} {{Утверждение|statement=Не существует алгоритма добавления элемента в упорядоченный массив с сохранением порядка, за истинное время $\mathcal{o}(\log n)$, где $n$ {{---}} количество элементов в массиве, |proof=Допустим, есть такой алгоритм. Тогда создадим пустой массив и будем последовательно добавлять в него элементы массива, который хотим отсортировать. В итоге на выходе алгоритма получим отсортированный массив.Тогда сравнений будет $\mathcal{o}(\log 1 + \log 2 + \ldots + \log{(n-1)}) = \mathcal{o}(n\log n)$. Но теорема утверждает, что их должно быть $\Omega(n\log n)$.}} {{Утверждение|statement=Не существует структуры данных, которая одновременно поддерживает добавление элементов и извлечение минимума за амортизированное время <tex> O\mathcal{o}(1\log n) </tex>. Даже если остальные операции могут выполняться сколько угодно долго.|proof=Верхние границы Если бы такая структура существовала, то с её помощью можно было бы отсортировать все элементы за амортизированное время <tex> O\mathcal{o}(n \log {n}) </tex> времени работы пирамидальной сортировки и сортировки слиянием совпадают с нижней границей {{---}} добавить все элементы,а затем извлечь минимальный <tex>n</tex> раз. Можно заметить, что теореме даётся оценка на истинную нижнюю границу, а в данном утверждении фигурирует амортизированное время.Но этот факт не является проблемой, так как амортизированное время <tex> \mathcal{o}(\log n) </tex> на одну операцию в случае <tex> n </tex> операций даст суммарное истинное время <tex>\Omegamathcal{o}(n \log n)</tex> для наихудшего случая из теоремы о нижней границе для сортировки сравнениями.