Удаление длинных правил из грамматики — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Источники информации: категория)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 2 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
|definition =
 
|definition =
 
Пусть  <tex>\Gamma</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]].
 
Пусть  <tex>\Gamma</tex> {{---}} [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора|контекстно-свободная грамматика]].
Правило <tex>A \rightarrow \beta </tex> называется '''длинным''' (англ. ''long''), если <tex>|\beta| > 2</tex>.
+
Правило <tex>A \rightarrow \beta </tex> называется '''длинным''' (англ. ''long rule''), если <tex>|\beta| > 2</tex>.
 
}}  
 
}}  
  
Строка 20: Строка 20:
 
*;<tex>B_2 \rightarrow a_3B_3</tex>
 
*;<tex>B_2 \rightarrow a_3B_3</tex>
 
*;<tex>\ldots </tex>
 
*;<tex>\ldots </tex>
*;<tex>B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}</tex>.
+
*;<tex>B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}</tex>
 
* Удалим из грамматики правило <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>.  
 
* Удалим из грамматики правило <tex>A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k</tex>.  
 
=== Корректность алгоритма ===
 
=== Корректность алгоритма ===
Строка 44: Строка 44:
 
== Пример работы ==
 
== Пример работы ==
 
Покажем, как описанный алгоритм будет работать на следующей грамматике:  
 
Покажем, как описанный алгоритм будет работать на следующей грамматике:  
<tex>S \rightarrow AB</tex>,
+
: <tex>S \rightarrow AB</tex>      
<tex>A \rightarrow aBcB</tex>,
+
: <tex>A \rightarrow aBcB</tex>  
<tex>B \rightarrow def</tex>.  
+
: <tex>B \rightarrow def</tex>.  
  
Для правила <tex>A \rightarrow aBcB</tex> вводим 2 новых нетерминала <tex>A_1, A_2</tex> и 3 новых правила:  
+
Для правила <tex>A \rightarrow aBcB</tex> вводим <tex> 2 </tex> новых нетерминала <tex>A_1, A_2</tex> и <tex> 3 </tex> новых правила:  
<tex>A \rightarrow aA_1</tex>,
+
: <tex>A \rightarrow aA_1</tex>
<tex>A_1 \rightarrow BA_2</tex>,
+
: <tex>A_1 \rightarrow BA_2</tex>
<tex>A_2 \rightarrow cB</tex>.
+
: <tex>A_2 \rightarrow cB</tex>.
  
Для правила <tex>B \rightarrow def</tex> вводим 1 новый нетерминал <tex>B_1</tex> и 2 новых правила:  
+
Для правила <tex>B \rightarrow def</tex> вводим <tex> 1 </tex> новый нетерминал <tex>B_1</tex> и <tex> 2 </tex> новых правила:  
<tex>B \rightarrow dB_1</tex>,
+
: <tex>B \rightarrow dB_1</tex>
<tex>B_1 \rightarrow ef</tex>.
+
: <tex>B_1 \rightarrow ef</tex>.
  
 
В итоге полученная грамматика <tex>\Gamma'</tex> будет иметь вид:  
 
В итоге полученная грамматика <tex>\Gamma'</tex> будет иметь вид:  
<tex>S \rightarrow AB</tex>,
+
: <tex>S \rightarrow AB</tex>  
<tex>A \rightarrow aA_1</tex>,
+
: <tex>A \rightarrow aA_1</tex>  
<tex>A_1 \rightarrow BA_2</tex>,
+
: <tex>A_1 \rightarrow BA_2</tex>  
<tex>A_2 \rightarrow cB</tex>,
+
: <tex>A_2 \rightarrow cB</tex>  
<tex>B \rightarrow dB_1</tex>,
+
: <tex>B \rightarrow dB_1</tex>  
<tex>B_1 \rightarrow ef</tex>.  
+
: <tex>B_1 \rightarrow ef</tex>.
  
 
== См. также  ==
 
== См. также  ==
Строка 73: Строка 73:
 
* ''Michael A. Harrison'' Introduction to Formal Language Theory. — Addison-Wesley, 1978. — ISBN 978-0201029550. (с 103.)
 
* ''Michael A. Harrison'' Introduction to Formal Language Theory. — Addison-Wesley, 1978. — ISBN 978-0201029550. (с 103.)
 
* [[wikipedia:en:Chomsky_normal_form#Converting a grammar to Chomsky Normal Form | Wikipedia {{---}} Chomsky normal form]]
 
* [[wikipedia:en:Chomsky_normal_form#Converting a grammar to Chomsky Normal Form | Wikipedia {{---}} Chomsky normal form]]
 +
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
 
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
+
[[Категория: Контекстно-свободные грамматики]]
 +
[[Категория: Нормальные формы КС-грамматик]]

Текущая версия на 16:24, 12 сентября 2015

Определение:
Пусть [math]\Gamma[/math]контекстно-свободная грамматика. Правило [math]A \rightarrow \beta [/math] называется длинным (англ. long rule), если [math]|\beta| \gt 2[/math].


Задача:
Пусть [math]\Gamma[/math]контекстно-свободная грамматика, содержащая длинные правила. Требуется построить эквивалентную грамматику [math]\Gamma'[/math], не содержащую длинных правил.
Задача удаления длинных правил из грамматики возникает при попытке её приведения к нормальной форме Хомского.


Алгоритм[править]

С каждым длинным правилом [math]A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k[/math], [math]k \gt 2[/math], [math]a_i \in \Sigma \cup N[/math] проделаем следующее:

  • Добавим в грамматику [math]k-2[/math] новых нетерминала [math]B_1, B_2, \ldots B_{k-2}[/math].
  • Добавим в грамматику [math]k-1[/math] новое правило:
    [math]A \rightarrow a_1B_1[/math]
    [math]B_1 \rightarrow a_2B_2[/math]
    [math]B_2 \rightarrow a_3B_3[/math]
    [math]\ldots [/math]
    [math]B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}[/math]
  • Удалим из грамматики правило [math]A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k[/math].

Корректность алгоритма[править]

Теорема:
Пусть [math]\Gamma[/math]контекстно-свободная грамматика. [math]\Gamma'[/math] — грамматика, полученная в результате применения алгоритма к [math]\Gamma[/math]. Тогда [math]L(\Gamma) = L(\Gamma').[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow [/math]
Покажем, что [math]L(\Gamma) \subseteq L(\Gamma')[/math].
Пусть [math]w \in L(\Gamma)[/math]. Рассмотрим вывод [math]w[/math]. Если в выводе используется длинное правило [math]A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k[/math], то заменим его на последовательное применение правил [math]A \rightarrow a_1B_1[/math], [math]B_1 \rightarrow a_2B_2[/math], [math]B_2 \rightarrow a_3B_3[/math], [math]\ldots [/math], [math]B_{k-2} \rightarrow a_{k-1}a_{k}[/math]. Получим вывод [math]w[/math] в [math]\Gamma'[/math].

[math]\Leftarrow [/math]
Покажем, что [math]L(\Gamma') \subseteq L(\Gamma)[/math]. Допустим, что это не так, то есть [math]\exists w \in L(\Gamma'), w \notin L(\Gamma)[/math]. Рассмотрим вывод [math]w[/math] в [math]\Gamma' \cup \Gamma[/math], минимальный по количеству примененных правил, отсутствующих в [math]\Gamma[/math]. Найдем в этом выводе первое применение некоторого правила [math]A \rightarrow a_1A_1, a_1 \in \Sigma \cup N[/math], которого нет в [math]\Gamma[/math]. В ходе алгоритма оно было получено из некоторого длинного правила [math]A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k[/math]. Применим [math]A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k[/math] вместо [math]A \rightarrow a_1A_1[/math] и удалим в выводе все применения правил, полученных из [math]A \rightarrow a_1 a_2 \ldots a_k[/math].

Получим вывод [math]w[/math] в [math]\Gamma \cup \Gamma'[/math], в котором меньше применений правил, отсутствующих в [math]\Gamma[/math], чем в исходном. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

Время работы алгоритма[править]

Здесь будем понимать под [math] | \Gamma | [/math] сумму длин правых частей правил. Данный алгоритм добавляет в грамматику [math]O(\left| \Gamma \right|)[/math] новых нетерминалов, [math]O(\left| \Gamma \right|)[/math] новых правил длины [math]O(1)[/math] и, следовательно, работает за [math]O(\left| \Gamma \right|)[/math].

Пример работы[править]

Покажем, как описанный алгоритм будет работать на следующей грамматике:

[math]S \rightarrow AB[/math]
[math]A \rightarrow aBcB[/math]
[math]B \rightarrow def[/math].

Для правила [math]A \rightarrow aBcB[/math] вводим [math] 2 [/math] новых нетерминала [math]A_1, A_2[/math] и [math] 3 [/math] новых правила:

[math]A \rightarrow aA_1[/math]
[math]A_1 \rightarrow BA_2[/math]
[math]A_2 \rightarrow cB[/math].

Для правила [math]B \rightarrow def[/math] вводим [math] 1 [/math] новый нетерминал [math]B_1[/math] и [math] 2 [/math] новых правила:

[math]B \rightarrow dB_1[/math]
[math]B_1 \rightarrow ef[/math].

В итоге полученная грамматика [math]\Gamma'[/math] будет иметь вид:

[math]S \rightarrow AB[/math]
[math]A \rightarrow aA_1[/math]
[math]A_1 \rightarrow BA_2[/math]
[math]A_2 \rightarrow cB[/math]
[math]B \rightarrow dB_1[/math]
[math]B_1 \rightarrow ef[/math].

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Michael Sipser Introduction to the Theory of Computation. — PWS Publishing, 1997. — ISBN 0-534-94728-X. (с 107.)
  • Michael A. Harrison Introduction to Formal Language Theory. — Addison-Wesley, 1978. — ISBN 978-0201029550. (с 103.)
  • Wikipedia — Chomsky normal form