Участник:Fad Oleg

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Стандартный базис

Определение:
Стандартный базис — система булевых функций: [math]\{\land, \lor, \lnot \} [/math]


Для перехода к стандартному базису достаточно показать тождественные формулы для операций эквиваленции, импликации и константы [math] 0 [/math], т. к. все остальные операции являются их отрицаниями:

[math] x \leftrightarrow y = \left ( x \rightarrow y \right ) \land \left ( y \rightarrow x \right ) [/math]

[math] x \rightarrow y = \lnot x \lor y [/math]

[math] 0 = x \land \lnot x [/math]

Полнота стандартного базиса

Утверждение:
Стандартный базис является полной системой булевых функций
[math]\triangleright[/math]
Данное утверждение - следствие теоремы об СДНФ.
[math]\triangleleft[/math]

Однако, по закону де Моргана:

[math] x \land y = \lnot \left (\lnot x \lor \lnot y \right ) [/math]

[math] x \lor y = \lnot \left (\lnot x \land \lnot y \right ) [/math]

Следовательно, стандартный базис является избыточным, так как базисами являются подмножества системы:

[math] \{ \land , \lnot \} [/math] (конъюнктивный базис Буля)

[math] \{ \lor , \lnot \} [/math] (дизъюнктивный базис Буля)

Теорема о максимальном числе функций в базисе

Теорема:
Максимально возможное число булевых функций в базисе — четыре
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что число булевых функций в базисе не превышает число классов Поста. Попробуем ограничить базис четырьмя булевыми функциями. В базисе обязательно найдётся функция [math] f(x_1, x_2, \ldots, x_n) [/math], которая не сохраняет ноль, т.е. [math] f(0, 0, \ldots, 0) = 1 [/math]. Тогда возможны два случая:

1. [math] f(1, 1, \ldots, 1) = 0 [/math], тогда функция [math]f[/math] также не сохраняет единицу.

2. [math] f(1, 1, \ldots, 1) = 1 [/math], тогда функция [math]f[/math] несамодвойственная.

В любом случае, функция [math]f[/math] будет не принадлежать двум классам Поста.
[math]\triangleleft[/math]

Источники

Полные системы булевых функций — Википедия

Категория: Дискретная математика и алгоритмы

Категория: Булевы функции