Теорема о гигантской компоненте. Поиск в ширину в случайном графе — различия между версиями
Cuciev (обсуждение | вклад) (index fix) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 22 промежуточные версии 3 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Теорема о гигантской компоненте == | == Теорема о гигантской компоненте == | ||
− | Перед формулировкой основной теоремы данного раздела | + | Перед формулировкой основной теоремы данного раздела дадим определение некоторых понятий, которые будут использованы в дальнейшем, а также приведем необходимые далее утверждения. |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition='''Простейший ветвящийся процесс.''' Пусть <tex>Z_1,\dotsc Z_n,\dotsc </tex> {{---}} независимые пуассоновские величины<ref>https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Пуассона</ref> с одним и тем же [[Математическое ожидание случайной величины | математическим ожиданием]] <tex>\lambda</tex>. Положим | |definition='''Простейший ветвящийся процесс.''' Пусть <tex>Z_1,\dotsc Z_n,\dotsc </tex> {{---}} независимые пуассоновские величины<ref>https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Пуассона</ref> с одним и тем же [[Математическое ожидание случайной величины | математическим ожиданием]] <tex>\lambda</tex>. Положим | ||
Строка 46: | Строка 46: | ||
'''Случай <tex>c < 1</tex>'''. | '''Случай <tex>c < 1</tex>'''. | ||
− | Положим <tex>t_0=[\beta \ln n]</tex>, где <tex>\beta</tex> {{---}} константа, которая будет подобрана далее. Нам хочется доказать, что с большой вероятностью каждая из компонент случайного графа имеет размер <tex> | + | Положим <tex>t_0=[\beta \ln n]</tex>, где <tex>\beta</tex> {{---}} константа, которая будет подобрана далее. Нам хочется доказать, что с большой вероятностью каждая из компонент случайного графа имеет размер, меньший или равный <tex>t_0</tex>. |
Но размер компоненты {{---}} это момент вырождения процесса <tex>Y_t</tex> на случайном графе. Значит, интересующее нас утверждение можно записать в следующем виде: <tex>P_{n, p}(\exists v_1 : Y_{t_0} > 0) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty</tex> | Но размер компоненты {{---}} это момент вырождения процесса <tex>Y_t</tex> на случайном графе. Значит, интересующее нас утверждение можно записать в следующем виде: <tex>P_{n, p}(\exists v_1 : Y_{t_0} > 0) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty</tex> | ||
Поскольку <tex>P_{n, p}(\exists v_1 : Y_{t_0} > 0) \le nP_{n, p}(Y_{t_0} \ge 0)</tex>, достаточно найти такое <tex>\beta</tex>, при котором <tex>P_{n, p}(Y_{t_0} > 0) = o\left(\frac{1}{n}\right).</tex><br> | Поскольку <tex>P_{n, p}(\exists v_1 : Y_{t_0} > 0) \le nP_{n, p}(Y_{t_0} \ge 0)</tex>, достаточно найти такое <tex>\beta</tex>, при котором <tex>P_{n, p}(Y_{t_0} > 0) = o\left(\frac{1}{n}\right).</tex><br> | ||
Строка 83: | Строка 83: | ||
== Обход случайного графа == | == Обход случайного графа == | ||
− | Приведем ряд утверждений, которые будут использованы | + | Приведем ряд утверждений, которые будут использованы в дальнейшем. Их доказательство, а также более детальный рассказ можно найти здесь<ref name="chap4">Blum A. Random Graphs // CS 598 Topics in Algorithms (UIUC), 2015. URL: https://www.cs.cmu.edu/~avrim/598/chap4only.pdf</ref>. |
{{Лемма | {{Лемма | ||
|id=lemma1 | |id=lemma1 | ||
Строка 96: | Строка 96: | ||
<tex> | <tex> | ||
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
− | \begin{cases} | + | \begin{cases} |
− | &\text{Найдутся такие $c_1, c_2$, что с $p \leq \frac{1}{n}$ $\exists cc: size(cc) \in (c_1\log n; c_2n)$;} \\ | + | & \text{1) Найдутся такие $c_1, c_2$, что с $p \leq \frac{1}{n}$ $\exists cc: size(cc) \in (c_1\log n; c_2n)$;} \\ |
− | &\text{Число вершин в компонентах размера $O(\ln n)$ а.п.н. $\leq cn, c < 1$. Тогда с $p = 1 - o(1)$ существует компонента связности размера $\Omega (n)$;} \\ | + | & \text{2) Число вершин в компонентах размера $O(\ln n)$ а.п.н. $\leq cn, c < 1$.} \\ & \quad\:\text{Тогда с $p = 1 - o(1)$ существует компонента связности размера $\Omega (n)$;} \\ |
\end{cases} | \end{cases} | ||
\end{equation*} | \end{equation*} | ||
Строка 121: | Строка 121: | ||
=== Проблема поиска в ширину === | === Проблема поиска в ширину === | ||
− | [[Файл:Bfs_problem_on_random_graph.png|300px|thumb| | + | [[Файл:Bfs_problem_on_random_graph.png|300px|thumb|left|Проблема поиска в ширину на случайном графе]] |
+ | На данном изображении представлены результаты работы поиска в ширину , начавшемся в вершине <tex>1</tex> на двух графах: в первом у всех ребер <tex>p = 1</tex>, во втором же факт существования ребра определялся по ходу работы алгоритма {{---}} ребра, отмеченные пунктиром, не существуют. Проблема возникает, когда алгоритм просто не доходит до каких-то ребер, не выясняя, существуют они или нет: находясь в вершине <tex>2</tex>, алгоритм не делал запрос о ребре <tex>(2, 3)</tex>, так как у этому моменту вершина <tex>3</tex> уже была исследована. Ребра, которые потенциально могли быть не изученными, помечены на рисунке точечным пунктиром. | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
<br> | <br> | ||
− | + | ||
=== Неоткрытые вершины === | === Неоткрытые вершины === | ||
Строка 161: | Строка 166: | ||
\begin{equation*} | \begin{equation*} | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
− | k \le 1 &\text{—$\;$ вероятность исчезновения равна 1, если вероятность появления ровно одного ребенка равна $1$;}\\ | + | k \le 1 &\text{—$\;$ вероятность исчезновения равна 1, если вероятность} \\ & \;\;\;\;\;\,\text{появления ровно одного ребенка равна $1$;}\\ |
− | k > 1 &\text{—$\;$ вероятность исчезновения | + | k > 1 &\text{—$\;$ вероятность исчезновения является }\\&\;\;\;\;\;\,\text{единственным решением $f(x) = x,\; x \in [0, 1)$;} |
\end{cases} | \end{cases} | ||
\end{equation*} | \end{equation*} | ||
Строка 180: | Строка 185: | ||
Благодаря чему, <tex>q</tex> является корнем уравнения:<br> | Благодаря чему, <tex>q</tex> является корнем уравнения:<br> | ||
<tex>x = \sum_{i = 0..\infty}p_ix^i \Leftrightarrow f(x) = x</tex><br> | <tex>x = \sum_{i = 0..\infty}p_ix^i \Leftrightarrow f(x) = x</tex><br> | ||
+ | [[Файл:Extinction_probability_equation_root_random_graph.png|thumb|300px|right|Решение уравнения f(x)=x]] | ||
<br> | <br> | ||
Рассмотрим решение данного уравнения на <tex>[0; 1]</tex>. <br> | Рассмотрим решение данного уравнения на <tex>[0; 1]</tex>. <br> | ||
Строка 185: | Строка 191: | ||
Введем обозначения: <tex>k</tex> {{---}} количество потомков вершины, а <tex>m = f'(1)</tex>, тогда <tex>m = f'(1) = \sum_{i = 1..\infty}ip_i = E(k)</tex>.<br> | Введем обозначения: <tex>k</tex> {{---}} количество потомков вершины, а <tex>m = f'(1)</tex>, тогда <tex>m = f'(1) = \sum_{i = 1..\infty}ip_i = E(k)</tex>.<br> | ||
Кажется, что при <tex>m > 1</tex> дерево будет расти вечно, так как каждая вершина в момент времени <tex>j</tex> должна иметь потомков, однако при <tex>p_0 > 0</tex> с положительной вероятностью у корня может вообще не быть потомков. В исходном <tex>G(n,\frac{d}{n})</tex> <tex>m</tex> играет роль <tex>d</tex>, ввиду того, что <tex>d = E(k)</tex>.<br> | Кажется, что при <tex>m > 1</tex> дерево будет расти вечно, так как каждая вершина в момент времени <tex>j</tex> должна иметь потомков, однако при <tex>p_0 > 0</tex> с положительной вероятностью у корня может вообще не быть потомков. В исходном <tex>G(n,\frac{d}{n})</tex> <tex>m</tex> играет роль <tex>d</tex>, ввиду того, что <tex>d = E(k)</tex>.<br> | ||
− | |||
Пользуясь [[#lemma2|леммой 2]] и [[#th5|теоремой 5]], можно доказать, что:<br> | Пользуясь [[#lemma2|леммой 2]] и [[#th5|теоремой 5]], можно доказать, что:<br> | ||
# <tex>m < 1 \vee m = 1 \wedge p_1 < 1</tex> {{---}} вероятность исчезновения <tex> = 1</tex>;<br> | # <tex>m < 1 \vee m = 1 \wedge p_1 < 1</tex> {{---}} вероятность исчезновения <tex> = 1</tex>;<br> | ||
Строка 199: | Строка 204: | ||
d < 1\;\vee\; d = 1\;\wedge\; p_1 < 1&\text{—$\;$ процесс завершится с вероятностью один;}\\ | d < 1\;\vee\; d = 1\;\wedge\; p_1 < 1&\text{—$\;$ процесс завершится с вероятностью один;}\\ | ||
d = 1\;\wedge\; p_1 = 1&\text{—$\;$ процесс будет протекать бесконечно;}\\ | d = 1\;\wedge\; p_1 = 1&\text{—$\;$ процесс будет протекать бесконечно;}\\ | ||
− | d > 1&\text{—$\;$ вероятность исчезновения меньше единицы, но, если $p_0 = 0$, процесс не завершится, так как у каждой вершины найдется по крайней мере один потомок;}\\ | + | d > 1&\text{—$\;$ вероятность исчезновения меньше единицы, но, если $p_0 = 0$, процесс не завершится, так как у каждой вершины}\\&\;\;\;\;\;\,\text{найдется по крайней мере один потомок;}\\ |
\end{cases} | \end{cases} | ||
\end{equation*} | \end{equation*} |
Текущая версия на 19:24, 4 сентября 2022
Содержание
Теорема о гигантской компоненте
Перед формулировкой основной теоремы данного раздела дадим определение некоторых понятий, которые будут использованы в дальнейшем, а также приведем необходимые далее утверждения.
Определение: |
Простейший ветвящийся процесс. Пусть [1] с одним и тем же математическим ожиданием . Положим . | — независимые пуассоновские величины
Представлять себе описанный только что процесс можно так: в начальный момент времени есть одна активная частица. Затем она создает
Говоря в терминах данного выше определения, и — количество активных и порожденных частиц в момент времени , соответственно.
Теорема (1): |
Пусть . Тогда с вероятностью 1 процесс вырождается, т.е. . |
Теорема (2): |
Пусть . Пусть — единственное решение уравнения . Тогда процесс вырождается с вероятностью , т.е. . |
Определение: |
Ветвящийся процесс на случайном графе. Пусть математическим ожиданием . Положим . | — независимые пуассоновские величины с одним и тем же
В произвольном графе
зафиксируем . Пометим ее как активную, а все остальные вершины — нейтральными. Выберем среди нейтральных вершин всех соседей вершины . После этого пометим вершину как неактивную , а смежных с ней — как активных, а все остальные вершины — нейтральными.Снова зафиксируем какую-нибудь активную вершину
, и повторим процесс, не меняя статус остальных уже активных вершин.Продолжая этот ветвящийся процесс, мы в конце концов получим лишь неактивные (образующие компоненту, содержащую
Данный процесс очень похож на поиск в ширину, этим свойством мы воспользуемся позднее.
Обозначим число активных вершин в момент времени
через , число нейтральных вершин — через , а число соседей вершины, которую собираемся пометить как неактивную, — через . Тогда . Все введенные величины зависят от графа и от последовательности выбираемых вершин .Если
посчитать случайным, то при любом выборе вершин получатся случайные величины на пространстве .Теорема о гигантской компоненте
Теорема (о гигантской компоненте): |
Рассмотрим модель . Пусть .
|
Доказательство: |
Приведем здесь идеи[2], изложенные А.М. Райгородским, основанные на доказательстве[3] Р. Карпа. Такой формат позволит понять основные идеи и логику рассуждений. Строгий вариант приведен в [4]. Здесь и далее: — биномиальное распределение.Случай .Положим
Поскольку Случай .В данном случае ветвящийся процесс на графе нужно «запускать» не один раз, а многократно. Только так удается доказать, что а.п.н. хотя бы в одном запуске возникнет гигантская компонента. Подробности можно найти в [4], мы же лишь поясним, откуда в текущей ситуации появляется из формулировки теоремы 2 и почему она совпадает с одноименной константой из той же теоремы. Чтобы доказать, что есть гигантская компонента, необходимо, чтобы ветвящийся процесс на графе не вырождался даже
при Так как по условию , то при выполнено: Применим центральную предельную теорему к Пределы интегрирования в данном случае: от до .Если , то мы получим искомое стремление вероятности к нулю.Если Таким образом, критическое значение , то вероятность, напротив, будет стремиться к единице. , вплоть до которого есть именно стремление к нулю, — это решение уравнения или, что равносильно, . А это и есть уравнение из теоремы 2, если заменить на . |
Обход случайного графа
Приведем ряд утверждений, которые будут использованы в дальнейшем. Их доказательство, а также более детальный рассказ можно найти здесь[5].
Лемма (1): |
Пусть . Тогда вероятность , что ( — компонента связности, содержащая ): — константа. |
Доказательство: |
Главная идея доказательства, которую мы будем использовать в дальнейшем — изменение алгоритма поиска в ширину таким образом, чтобы только что открытые вершины были выбраны из множества фиксированного размера. Такая модификация превращает поиск в ширину в ветвящийся процесс. |
Теорема (4): |
Пусть . |
Поиск в ширину
Рассмотрим граф
- компоненты связности получающегося леса объединяются.
-
-
-
начинает образовываться гигантская компонента. Этот процесс происходит в два этапа: -
-
-
-
-
Чтобы вычислить размер компоненты связности, пройдемся с помощью поиска в ширину по ней, стартуя из произвольной вершины и переходя к очередной неисследованной вершине, только если ребро между ними существует (данный факт необходимо установить независимо от других ребер, с вероятностью ). Если ребро существует, пометим следующую вершину как "открытую". Алгоритм закончит свою работу (обойдет всю компоненту связности), когда множество неисследованных "открытых" вершин станет пустым.
Проблема поиска в ширину
На данном изображении представлены результаты работы поиска в ширину , начавшемся в вершине
Неоткрытые вершины
Будем считать шагом алгоритма поиска открытие новой вершины. После первых
Вероятность исчезновения
От поиска в ширину к ветвящимся процессам
Пользуясь идеями, изложенными в доказательстве леммы 1, перейдем от модифицированного поиска в ширину к ветвящемуся процессу. Этот процесс используется для генерации случайных деревьев, возможно, бесконечного размера.
Определение: |
Вероятность исчезновения (extinction probability) — вероятность, того, что дерево ветвящегося процесса будет конечным (процесс завершится через конечное время). |
Рассмотрим натуральное случайное число
Процесс построения дерева заканчивается, образуя конечное дерево, когда у каждой вершины построены все ее потомки. Данный процесс может продолжаться бесконечно.
Пусть:
Тогда
— вероятность, что производит потомков, а значит:
и .
Глубина дерева не меньше количества вершин, поэтому вероятность того, что процесс закончится с деревом глубины , вычисляется по следующей формуле:
Вычисление вероятности исчезновения
Лемма (2): |
Пусть . Пусть — единственный корень на . Тогда для . |
Теорема (5): |
Рассмотрим дерево, сгенерированное ветвящимся процессом. Пусть — производящая функция числа потомков каждой вершины, а — ожидаемое количество потомков в каждой вершине. Тогда верно следующее:. |
В данной статье нами рассматривается простой случай ветвящегося процесса, в котором распределение количества потомков одинаково для каждой вершины.
Обозначим:
Для того, чтобы вычислить вероятность исчезновения, воспользуемся производящей функцией:
где — вероятность того, что
Так как — вероятность конечности алгоритма, то, если у корневой вершины потомков, построение каждого из поддеревьев должно завершиться, и это произойдет с вероятностью :
Благодаря чему, является корнем уравнения:
Рассмотрим решение данного уравнения на .
— всегда решение данного уравнения, так как .
Введем обозначения: — количество потомков вершины, а , тогда .
Кажется, что при дерево будет расти вечно, так как каждая вершина в момент времени должна иметь потомков, однако при с положительной вероятностью у корня может вообще не быть потомков. В исходном играет роль , ввиду того, что .
Пользуясь леммой 2 и теоремой 5, можно доказать, что:
Подробное описание доказательства данного факта, а также самих утверждений можно найти здесь[5].
Вывод
Используя результаты, полученные в предыдущей части, сделаем вывод о вероятности окончания работы поиска в ширину на случайном графе
См. также
Литература
- ↑ https://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Пуассона
- ↑ Введение в математическое моделирование транспортных потоков: Учебное пособие/Издание 2-е, испр. и доп. А. В. Гасников и др. Под ред. А. В. Гасникова.— М.: МЦНМО, 2013 — C.330-339 — ISBN 978-5-4439-0040-7
- ↑ Karp R. The transitive closure of a random digraph//Random structures and algorithms. 1990. V. 1. P. 73–94.
- ↑ 4,0 4,1 Алон Н., Спенсер Дж. Вероятностный метод. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007.
- ↑ 5,0 5,1 Blum A. Random Graphs // CS 598 Topics in Algorithms (UIUC), 2015. URL: https://www.cs.cmu.edu/~avrim/598/chap4only.pdf