Введение в комплексный анализ — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 9 промежуточных версий 2 участников)
Строка 10: Строка 10:
 
}}
 
}}
  
Если комплексное число <tex> z </tex> можно представить в виде <tex> a + b \cdot i </tex>, то мы можем отождествить записи <tex> (a, 0) </tex> ~ <tex> a </tex>, <tex> (0, 1) </tex> ~ <tex> i </tex>, <tex> i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 - 1, 0) = -1 </tex>. Именно отсюда получается. что <tex> i^2 = -1 </tex>. Соответственно пара <tex> \langle a, b \rangle </tex> это некий абстрактный объект, с которым нам и предстоит работать в этом курсе.
+
Если комплексное число <tex> z </tex> можно представить в виде <tex> a + bi </tex>, то мы можем отождествить записи <tex> (a,0)\equiv a </tex>, <tex> (0,b)\equiv bi </tex>, <tex> i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 - 1, 0) = -1 </tex>. Именно отсюда получается. что <tex> i^2 = -1 </tex>. Соответственно пара <tex> \langle a, b \rangle </tex> это некий абстрактный объект, с которым нам и предстоит работать в этом курсе.
  
Для выделения вещественной и комплексной частей будем пользоваться записями <tex> Re(z) = a </tex> и <tex> Im(z) = b </tex>.
+
Для выделения вещественной и комплексной частей будем пользоваться записями <tex> \Re(z) = a </tex> и <tex> \Im(z) = b </tex>.
  
Комплексное число можно представить на плоскости, если отталкиваться от вещественной и мнимой частей, как от координат абсциссы и ординаты. Если задавать вектор не в прямоугольной системе координат, а в полярной, то приходится работать с углами.
+
Комплексное число можно представить на плоскости, если отталкиваться от вещественной и мнимой частей, как от абсциссы и ординаты. Если задавать вектор не в прямоугольной системе координат, а в полярной, то приходится работать с углами.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex> |z| = r = sqrt(a^2 + b^2) </tex>.
+
|definition=<tex> |z|=r=\sqrt{a^2 + b^2} </tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=<tex> \Phi = \phi + 2 \pi k - art(z)</tex>, где <tex> k </tex> - целое число.
+
|definition=
<tex> tg \phi = b / a </tex>
+
<tex> \mathrm{Arg}\,(z) = \Phi = \phi + 2 \pi k</tex>, где <tex> k </tex> - целое число.
<tex> sin \phi = b / r </tex>
+
<tex> \mathrm{tg}\,\phi=\dfrac{b}{a} </tex>
<tex> cos \phi = a / r </tex>
+
 
 +
<tex> \sin \phi=\dfrac{b}{r} </tex>
 +
<tex> \cos \phi=\dfrac{a}{r} </tex>
 
}}
 
}}
  
 
Отсюда получаем формулы:
 
Отсюда получаем формулы:
* <tex>a + b \cdot i = r \cdot (cos \phi + i \cdot sin \phi)</tex>
+
* <tex>a + bi = r (\cos \phi + i \sin \phi)</tex>
* <tex>z_1 \cdot z_2 = r \cdot (cos \phi + i \cdot sin \phi)</tex>
+
* <tex>z_1z_2 = r_1r_2 (\cos (\phi_1+\phi_2) + i \sin (\phi_1+\phi_2))</tex>
* <tex>z_1 / z_2   = r \cdot (cos \phi + i \cdot sin \phi)</tex>
+
* <tex>\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} (\cos (\phi_1-\phi_2) + i \sin (\phi_1-\phi_2))</tex>
* <tex>z^n = r \cdot (cos \phi + i \cdot sin \phi)</tex>
+
* <tex>z^n = r (\cos \phi + i \sin \phi)</tex>
  
 
=Ссылки=
 
=Ссылки=

Текущая версия на 19:33, 4 сентября 2022

Эта статья находится в разработке!
На главную <<

Комплексный анализ отличается от математического анализа тем, что мы работаем теперь не только с вещественными числами, но и с комплексными.


Определение:
Комплексное число это пара [math] \langle a, b \rangle [/math] заданных на множестве, где определены операторы сложения и умножения:

1) [math] z_1 + z_2 = (a_1 + a_2, b_1 + b_2)[/math];

2) [math] z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1)[/math].


Если комплексное число [math] z [/math] можно представить в виде [math] a + bi [/math], то мы можем отождествить записи [math] (a,0)\equiv a [/math], [math] (0,b)\equiv bi [/math], [math] i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 - 1, 0) = -1 [/math]. Именно отсюда получается. что [math] i^2 = -1 [/math]. Соответственно пара [math] \langle a, b \rangle [/math] это некий абстрактный объект, с которым нам и предстоит работать в этом курсе.

Для выделения вещественной и комплексной частей будем пользоваться записями [math] \Re(z) = a [/math] и [math] \Im(z) = b [/math].

Комплексное число можно представить на плоскости, если отталкиваться от вещественной и мнимой частей, как от абсциссы и ординаты. Если задавать вектор не в прямоугольной системе координат, а в полярной, то приходится работать с углами.


Определение:
[math] |z|=r=\sqrt{a^2 + b^2} [/math].


Определение:
[math] \mathrm{Arg}\,(z) = \Phi = \phi + 2 \pi k[/math], где [math] k [/math] - целое число.

[math] \mathrm{tg}\,\phi=\dfrac{b}{a} [/math]

[math] \sin \phi=\dfrac{b}{r} [/math]

[math] \cos \phi=\dfrac{a}{r} [/math]


Отсюда получаем формулы:

  • [math]a + bi = r (\cos \phi + i \sin \phi)[/math]
  • [math]z_1z_2 = r_1r_2 (\cos (\phi_1+\phi_2) + i \sin (\phi_1+\phi_2))[/math]
  • [math]\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} (\cos (\phi_1-\phi_2) + i \sin (\phi_1-\phi_2))[/math]
  • [math]z^n = r (\cos \phi + i \sin \phi)[/math]

Ссылки